Carrera de lanchas con movimiento variado (3994)

, por F_y_Q

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En una carrera de lanchas, la lancha A se adelanta a la lancha B por 120 ft y ambos botes viajan a una rapidez constante de 105 mi/h. En el instante inicial, las lanchas aceleran con valores constantes. Si se sabe que la lancha B rebasa a la lancha A a los 8 s y que la velocidad de A, en ese instante, es 135 mi/h, determina:

a) La aceleración de A.

b) La aceleración de B.

P.-S.

a) Ambas lanchas llevan un movimiento acelerado. Con los datos que facilita el enunciado, puedes calcular la aceleración de la lancha A a partir de su ecuación de la velocidad. La vas a aplicar y tendrás que hacer un cambio de unidades para que la diferencia de velocidades que sufre la lancha quede expresada en unidades SI:

v_A = v_{0A} + a_At\ \to\ a_A = \frac{v_A - v_{0A}}{t} = \frac{(135 - 105)\ mi/h}{8\ s}

El cambio de unidades es:

a_A = \frac{30\frac{\cancel{mi}}{\cancel{h}}\cdot \frac{1\ 609\ m}{1\ \cancel{mi}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3\ 600\ s}}{8\ s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.68\ \frac{m}{s^2}}}}


b) Cuando pasan 8 s las posiciones de ambas lanchas son iguales. Escribes las ecuaciones de la posición de las lanchas y las igualas para ese instante. Debes tener en cuenta que la lancha A lleva una ventaja de 120 ft sobre la lancha B, que son:

120\ \cancel{ft}\cdot \frac{0.305\ m}{1\ \cancel{ft}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 36.6\ m}

Las ecuaciones de las posiciones de las lanchas son:

\left x_A = 36.6 + v_{0A}t + \frac{1}{2}a_At^2 \atop x_B = v_{0B}t + \frac{1}{2}a_Bt^2 \right \}

Como las velocidades iniciales de ambas lanchas son iguales, puedes simplificar al igualar ambas expresiones y obtienes:

36.6 + \frac{a_A}{2}t^2 = \frac{a_B}{s}t^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{73.2 + a_At^2 = a_Bt^2}}

Sustituyes el tiempo por los 8 s y despejas:

a_B = \frac{73.2\ m + 1.68\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 64\ \cancel{s^2}}{64\ s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.82\ \frac{m}{s^2}}}}