Lanzamiento parabólico desde lo alto de una torre de altura desconocida (1217)

, por F_y_Q

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Desde lo alto de una torre se lanza una pelota con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de elevación de 53º. Si la pelota golpea el suelo en un punto que dista 300 m de la base de la torre, determina:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota por encima del suelo.

b) La altura de la torre.

P.-S.

La situación que describe el enunciado se corresponde con un movimiento parabólico. Para resolverlo, tendrás que descomponer el movimiento en sus componentes horizontal y vertical.

Componentes de la velocidad inicial.

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_{0x} = v_0\cdot cos\ \alpha}} = 50\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\cdot \text{cos}\ 53^o = \color{royalblue}{\bf 30\ m\cdot s^{-1}}$$$
$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_{0y} = v_0\cdot sen\ \alpha}} = 50\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\cdot \text{sen}\ 53^o = \color{royalblue}{\bf 40\ m\cdot s^{-1}}$$$

b) Lo más simple es empezar por el cálculo de la altura de la torre, a partir del dato del alcance de la pelota. Dado que la velocidad es constante en la dirección horizontal, la ecuación de la posición en esa dirección sigue un MRU y puedes calcular el tiempo que está en el aire la pelota:

$$$ \require{cancel} \text{x} = \text{v}_{0\text{x}}\cdot \text{t}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{t = \dfrac{x}{v_{0x}}}} = \dfrac{300\ \cancel{\text{m}}}{30\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 10\ s}$$$

Si sustituyes el tiempo que has calculado en la ecuación de la posición vertical de la pelota podrás averiguar la altura de la torre. Eso sí, para poder hacerlo tienes que tomar la referencia en el suelo e imponer la condición de que la posición es cero cuando el tiempo es 10 s:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{y}} = \text{h}_0 + \text{v}_{0\text{y}}\cdot \text{t} - \dfrac{\text{g}}{2}\cdot \text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h_0 = \dfrac{g}{2}\cdot t^2 - v_{0y}\cdot t}$$$

Sustituyes en la ecuación el valor del tiempo impuesto y calculas:

$$$ \require{cancel} h_0 = \dfrac{10}{2}\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot 10^2\ \cancel{\text{s}^2} - 40\ \dfrac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 10\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 100\ m}}$$$



a) La pelota ascenderá mientras la componente vertical de la velocidad inicial sea positiva. Al llegar a cero será cuando deje de subir y comenzará a descender, momento en el que ha alcanzado la altura máxima. Como la componente vertical de la velocidad está sometida a la aceleración de la gravedad, se trata de un MRUA. Puedes usar la ecuación que relaciona las velocidades inicial y final con la distancia:

$$$ \require{cancel} \cancelto{0}{\text{v}_\text{y}^2} = \text{v}_{0\text{y}}^2 - 2\text{g}\cdot \text{h}^{\prime}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h^{\prime} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}}$$$

Sustituyes los valores y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{h}^{\prime} = \dfrac{40^2\ \text{m}\cancel{^2}\cdot \cancel{\text{s}^{-2}}}{2\cdot 10\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-2}}} = \color{royalblue}{\bf 80\ m}$$$

La altura máxima que alcanza la pelota será la suma de la altura que acabas de calcular y la altura desde la que se lanzó, es decir, la altura de la torre:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{h_{máx} = h_0 + h^{\prime}}}\ \to\ \text{h}_{\text{máx}} = (100 + 80)\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 180\ m}}$$$

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