PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 4B (8713)

, por F_y_Q

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En el primer paso del proceso de desintegración, cada núcleo del isótopo $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ se transmuta en un núcleo del isótopo $$$ ^{228}\text{Ac}$$$ y se emite una partícula $$$ β^-$$$. Si se tiene una muestra de 30 g de $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ cuya actividad inicial es de $$$ 3.03\cdot 10^{14}\ \text{Bq}$$$, determina:

a) El número de partículas $$$ β^{-}$$$ por segundo que emite inicialmente la muestra de $$$ ^{228}\text{Ra}$$$.

b) La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración.

c) La masa del isótopo $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ que se habrá transformado en $$$ ^{228}\text{Ac}$$$ cuando hayan transcurrido 10 años.

Datos: $$$ \text{N}_\text{A} = 6.02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{M}(^{228}\text{Ra}) =228\ \text{u}$$$.

P.-S.

a) El proceso de desintegración nuclear es descrito mediante la ecuación:

$$$ ^{228}_{88}\text{Ra}\ \longrightarrow\ ^{228}_{89}\text{Ac} + \beta^{-} + \bar{\nu}_\text{e}$$$

El núcleo de radio contiene un exceso de neutrones y transforma uno de ellos en un protón y un antineutrino, emitiendo un electrón:

$$$ \text{n}\ \longrightarrow\ \text{p}^{+} + \text{e}^{-} + \bar{\nu}_\text{e}$$$

El dato de la actividad inicial te indica que se producen $$$ 3.03\cdot 10^{14}$$$ desintegraciones cada segundo. Como cada desintegración produce una partícula beta, o electrón, serán:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf N_{\beta^{-}} = 3.03\cdot 10^{14}\ \text{partículas}\cdot\ s^{-1}}}$$$



b) La constante de desintegración relaciona la actividad inicial con el número de núcleos iniciales, por lo que debes calcular previamente los núcleos radiactivos que hay en los 30 g de muestra:

$$$ \require{cancel} \text{N}_0 = 30\ \cancel{\text{g}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{228\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.02\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 7.92\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}}$$$

Despejas el valor de la constante de desintegración en la ecuación de la emisión radiactiva:

$$$ \text{A}_0 = \lambda\cdot \text{N}_0\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{A_0}{N_0}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \lambda = \dfrac{3.03\cdot 10^{14}\ \cancel{\text{núcleos}}\cdot \text{s}^{-1}}{7.92\cdot 10^{22}\ \cancel{\text{núcleos}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 3.83\cdot 10^{-9}\ s^{-1}}}$$$


La ecuación que relaciona el periodo de semidesintegración con la constante radiactiva es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf T_{\frac{1}{2}} = \dfrac{ln\ 2}{\lambda}}$$$

Sustituyes el valor de la constante de desintegración y calculas:

$$$ \text{T}_{\frac{1}{2}} = \dfrac{\text{ln}\ 2}{3.83\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.81\cdot 10^{8}\ s}}$$$



c) La ley de desintegración radiactiva en función de la masa es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m(t) = m_0\cdot e^{-\lambda t}}$$$

Es necesario que el tiempo esté expresado en unidad SI, por lo que debes hacer la conversión a segundos:

$$$ \require{cancel} 10\ \cancel{\text{años}}\cdot \dfrac{365\ \cancel{\text{días}}}{1\ \cancel{\text{año}}}\cdot \dfrac{24\ \cancel{\text{h}}}{1\ \cancel{\text{día}}}\cdot \dfrac{3.6\cdot 10^3\ \text{s}}{1\ \cancel{\text{h}}} = \color{royalblue}{\bf 3.15\cdot 10^8\ s}$$$

Sustituyes en la ecuación y obtienes la masa de muestra que queda tras los 10 años:

$$$ \text{m}(t) = 30\ \text{g}\cdot e^{-\left(3.83\cdot 10^{-9}\cdot 3.15\cdot 10^8\right)} = \color{royalblue}{\bf 8.97\ g}$$$

La masa de muestra transformada es la diferencia entre la masa inicial y la que aún queda:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\Delta m = m_0 - m(t)}} = (30 - 8.97)\ \text{g} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 21.03\ g}}$$$

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