Energía cinética de un proceso nuclear de absorción de neutrón con emisión de protón (8718)

, por F_y_Q

|

Considera la reacción nuclear inducida por neutrones rápidos sobre blancos de nitrógeno en reposo en el sistema del laboratorio:

$$$ {^{14}_{\ \ 7}\text{N}} + \text{n} \rightarrow {^{14}_{\ \ 6}\text{C}} + \text{p}$$$

a) Determina el balance energético o valor «Q» de la reacción en MeV y clasifícala según su signo.

b) Si los neutrones incidentes tienen una energía cinética en el laboratorio de $$$ \text{T}_\text{n} = 4.000\ \text{MeV}$$$, calcula la energía cinética total disponible en el sistema del centro de masas (CM).

c) Suponiendo que la reacción transcurre mediante la formación de un núcleo compuesto $$$ [^{15}_{\ \ 7}\text{N}]^*$$$, halla la energía de excitación «$$$ \text{E}^*$$$» de dicho núcleo intermedio. Toma como masa atómica del estado fundamental de $$$ {^{15}_{\ \ 7}\text{N}}$$$ el valor $$$ \text{M}(^{15}\text{N}) = 15.000109\ \text{u}$$$.

Datos: masa del neutrón: $$$ \text{m}_\text{n} = 1.008665 \text{ u}$$$; masa del protón: $$$ \text{m}_\text{p} = 1.007825 \text{ u}$$$; masa atómica de $$$ {^{14}_{\ \ 7}\text{N}}$$$: $$$ \text{M}(^{14}\text{N}) = 14.003074\text{ u}$$$; masa atómica de $$$ {^{14}_{\ \ 6}\text{C}}$$$: $$$ \text{M}(^{14}\text{C}) = 14.003242\text{ u}$$$; velocidad de la luz: $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; unidad masa atómica: $$$ \text{u} = 1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; equivalencia entre unidades de energía: $$$ 1\ \text{eV} = 1.6022\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$$

P.-S.

a) El valor «Q» que debes calcular representa la diferencia entre la energía de masa, en reposo, de los reactivos y la de los productos:

$$$ \text{Q} = \Delta \text{m}\cdot \text{c}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf Q = \left[ m_\text{n} + M(^{14}\text{N}) - M(^{14}\text{C}) - m_\text{p} \right]\cdot c^2}$$$

El defecto de masa es:

$$$ \Delta \text{m} = \left[(1.008665 + 14.003074) - (14.003242 + 1.007825)\right]\ \text{u} = \color{royalblue}{\bf 6.72\cdot 10^{-4}\ u}$$$

Sustituyes los datos en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{Q} = 6.72\cdot 10^{-4}\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \cancel{\text{kg}}}{1\ \cancel{\text{u}}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \dfrac{\cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{s}^{-2}}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6022\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.627\ \text{MeV}}}$$$


El signo positivo de «Q» indica que la reacción es exoenergética, es decir, el sistema final tiene menos masa en reposo que el sistema inicial y eso implica que esa masa se transforma en energía cinética. Tras el impacto, el núcleo de carbono-14 y el protón resultante tienen 0.627 Mev más de energía cinética que la del neutrón que colisionó, lo que significa que no presenta energía umbral cinemática.

b) En sistemas con energías cinéticas del orden de unos pocos MeV, el tratamiento no relativista es una aproximación excelente con un error relativo inferior al 0.5 %. Lo puedes comprobar si haces la energía cinética con la masa en reposo del neutrón y la comparas con el valor que indica el enunciado para la energía cinética en el laboratorio:

$$$ \require{cancel} \text{T}^{\prime}_\text{n} = \text{m}_\text{n}\cdot \text{c}^2 = 1.008665\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \cancel{\text{kg}}}{1\ \cancel{\text{u}}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \dfrac{\cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6022\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{royalblue}{\bf 941\ MeV}$$$

Ahora comparas este valor con el valor de la energía cinética en el laboratorio:

$$$ \dfrac{\text{T}_\text{n}}{\text{T}^{\prime}_\text{n}}\cdot 100 = \dfrac{4}{941}\cdot 100 = \color{royalblue}{\bf 0.43\ \%}$$$

La masa reducida del sistema formado por el neutrón incidente y el núcleo de nitrógeno sobre el que se lanza es:

$$$ \mu = \dfrac{\text{m}_\text{n} \cdot \text{M}(^{14}\text{N})}{\text{m}_\text{n} + \text{M}(^{14}\text{N})}$$$

Si tienes en cuenta la conservación de la energía, la energía disponible para el centro de masas será la suma de las energías cinéticas del neutrón y el nitrógeno, pero esta última es nula porque el núcleo de nitrógeno está en reposo:

$$$ \require{cancel} \text{T}_{\text{CM}} = \text{T}_\text{n} + \cancelto{0}{\text{T}_\text{N}}$$$

La energía cinética de traslación del centro de masas, más la energía cinética relativa, será igual a la energía cinética del neutrón que colisiona. Si escribes la velocidad del neutrón y la de traslación del centro de masas en función de sus energías cinéticas:

$$$ \require{cancel} \begin{cases} \text{v}_\text{n}^2 = \dfrac{2\text{T}_\text{n}}{m_n}\\ \text{v}_{\text{CM}}^2 = \dfrac{2\text{T}_{\text{CM}}}{\mu} \end{cases}\ \to\ \dfrac{\cancel{2}\text{T}_\text{n}}{\text{m}_\text{n}} = \dfrac{\cancel{2}\text{T}_{\text{CM}}}{\mu}\ \to\ \text{T}_{\text{CM}} = \dfrac{\mu}{\text{m}_\text{n}}\cdot \text{T}_\text{n}$$$

La ecuación que obtienes es, en función de los datos del enunciado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf T_{CM} = \dfrac{M(^{14}N)}{m_n + M(^{14}N)}\cdot T_n}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{T}_{\text{CM}} = \dfrac{14.003074\ \cancel{\text{u}}}{(1.008665 + 14.003074)\ \cancel{\text{u}}}\cdot 4\ \text{MeV} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 3.731\ MeV}}$$$



c) La energía de excitación «$$$ \text{E}^*$$$» de un núcleo compuesto formado por la absorción del proyectil sobre el núcleo en reposo es igual a la suma de la energía de separación del proyectil «$$$ \text{S}_\text{n}$$$» en dicho núcleo más la energía cinética relativa en el sistema:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E^* = S_n + T_{CM}}$$$

La energía de separación del neutrón en el $$$ {^{15}\text{N}}$$$ se calcula a partir de las masas en reposo:

$$$ \text{S}_\text{n} = \left[\text{M}(^{14}\text{N}) + \text{m}_\text{n} - \text{M}(^{15}\text{N}) \right]\cdot \text{c}^2$$$

La diferencia de las masas es:

$$$ \require{cancel} (14.003074 + 1.008665 - 15.000109)\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}}{1\ \cancel{\text{u}}} = \color{royalblue}{\bf 1.7683\cdot 10^{-29}\ kg}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{S}_\text{n} = 1.7683\cdot 10^{-29}\ \cancel{\text{kg}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \dfrac{\cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{s}^2}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6022\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{royalblue}{\bf 10.833\ MeV}$$$

La energía del estado excitado intermedio es la suma de este valor y la energía cinética disponible del centro de masas:

$$$ \text{E}^* = (10.833 + 3.731)\ \text{MeV} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 14.564\ MeV}}$$$


Este valor está muy por encima de su estado fundamental, por lo que es energía suficiente para desintegrarse emitiendo un protón y dando lugar a la reacción estudiada.