EBAU Andalucía: física (junio 2017) - ejercicio B.4 (4646)

, por F_y_Q

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a) Enuncia el principio de dualidad onda-corpúsculo. Si un electrón y un neutrón se mueven con la misma velocidad, ¿cuál de los dos tiene asociada una longitud de onda menor?

b) Una lámina metálica comienza a emitir electrones al incidir sobre ella radiación de longitud de onda 2.5\cdot 10^{-7}\ m. Calcula la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos si la radiación que incide sobre la lámina tiene una longitud de onda de 5 \cdot 10^{-8}\ m.

Datos: h = 6.63\cdot 10^{-34}\ J\cdot s ; c = 3 \cdot 10^8\ m\cdot s^{-1} ; m_e = 9.11\cdot 10^{-31}\ kg

P.-S.

a) Fue Louis De Broglie el que enunció el principio de la dualidad onda-corpúsculo, referido a toda partícula que se mueve pero, de manera práctica, aplicado a sistemas microscópicos, de escala cuántica. Este principio establece que toda partícula que se mueve lleva asociada una onda cuya longitud de onda es inversamente proporcional al momento lineal de la partícula. Dedujo esta ecuación igualando las expresiones de la energía dadas por Max Planck (\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = h\cdot \nu}}) y Albert Einstein (\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = m\cdot c^2}}). Al igualar ambas expresiones para el caso de un fotón, y sustituir el valor de la frecuencia por la longitud de onda (\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\nu = \frac{c}{\lambda}}), se obtiene:

mc^2 = \frac{hc}{\lambda}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\lambda = \frac{h}{mc}}}}

Esta expresión se puede generalizar para otras partículas subatómicas, siendo su ecuación:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\lambda_i = \frac{h}{m\cdot v_i}}}}


Si tienes un neutrón y un electrón que se mueven a la misma velocidad, el factor que determinará la diferencia entre sus longitudes de onda será la masa de cada uno. Como es un valor que aparece en el denominador de la expresión anterior, cuanto mayor sea la masa de la partícula, menor será la longitud de onda:

m_n >> m_e\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\lambda_n << \lambda_e}}}


b) Sabes que la energía de una radiación viene dada por la ecuación de Planck:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = h\cdot \nu}}

Puedes reescribir esta ecuación en función de la longitud de onda de la radiación si tienes en cuenta que el producto de la frecuencia por la longitud de onda es igual a la velocidad de propagación, por lo que la ecuación anterior te quedaría de la forma:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E = \frac{h\cdot c}{\lambda}}}

Si aplicas el principio de conservación de la energía parece claro que la energía de la radiación incidente ha de ser igual a la suma de la energía umbral (necesaria para que se produzca el efecto fotoeléctrico) y la energía cinética de los fotoelectrones, por lo tanto:

E_C = E_i - E_u\ \to\ \frac{1}{2}m_e\cdot v^2 = h\cdot c\left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_u}\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{\frac{2hc}{m_e}\left(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_u}\right)}}}

Solo te queda sustituir y calcular:

v = \sqrt{\frac{2\cdot 6.63\cdot 10^{-34}\ J\cdot s\cdot 3\cdot 10^8\ \cancel{m}\cdot s^{-1}}{9.11\cdot 10^{-31}\ kg}\left(\frac{1}{5\cdot 10^{-8}} - \frac{1}{2.5\cdot 10^{-7}}\right)\ \cancel{m^{-1}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.64\cdot 10^6\ \frac{m}{s}}}}