Centro de masas de una lámina de aluminio y hierro

, por F_y_Q

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Se tiene una lámina metálica de dimensiones 22 cm x 13 cm x 2,8 cm. La mitad de la lámina está compuesta por aluminio (\rho_{Al} = 2,70\ \textstyle{g\over cm^3}) y la otra mitad por hierro (\rho_{Fe} = 7,85\ \textstyle{g\over cm^3}). ¿Dónde se situará el centro de masas de la lámina?

P.-S.

En primer lugar calculamos el volumen de la lámina:
V_T = (22\cdot 13\cdot 2,8)\ cm^3 = 800,8\ cm^3
Como la mitad de este volumen corresponde a cada metal, vamos a calcular la masa de aluminio y de hierro que contiene la lámina:
m_{Al} = \rho_{Al}\cdot \frac{V_T}{2} = 2,7\frac{g}{\cancel{cm^3}}\cdot 400,4\ \cancel{cm^3} = 1\ 081\ g\ Al
m_{Fe} = \rho_{Fe}\cdot \frac{V_T}{2} = 7,85\frac{g}{\cancel{cm^3}}\cdot 400,4\ \cancel{cm^3} = 3\ 143\ g\ Fe
Como la lámina es simétrica podemos considerar que el centro de masas estará localizado en el interior de la lámina pero tomaremos de referencia la longitud de la lámina para poder hacer el cálculo. Imagina que tenemos que colocar una aguja en un punto en el que la lámina quedase en equilbrio, en qué parte de la cara de la lámina habría que colocar la aguja es lo que vamos a calcular. Lo hacemos igualando los momentos de sus pesos:
M_{Al} = M_{Fe}\ \to\ m_{Al}\cdot \cancel{g}\cdot d = m_{Fe}\cdot \cancel{g}\cdot (22 - d)
3\ 143d = 1\ 081(22 - d)\ \to\ 3\ 143d = 23\ 782 - 1\ 081d
Despejamos y calculamos d que será la distancia al borde de la parte hecha de hierro:

4\ 224d = 23\ 782\ \to\ \bf d = 5,63\ cm