Ángulo de un disparo para dar en el blanco (6806)

, por F_y_Q

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Un francotirador quiere disparar a un blanco que se encuentra a 835 m de distancia y a una altura de 4.2 m sobre el punto desde el que dispara. Si el proyectil sale con una velocidad de 348\ \textstyle{m\over s} , ¿con qué ángulo debe disparar para darle al blanco?

P.-S.

Al ser un lanzamiento parabólico, las ecuaciones de la posición del proyectil en función del tiempo son:

\left x = v_0\cdot t\cdot cos\ \alpha \atop y = v_0\cdot t\cdot sen\ \alpha - \frac{g}{2}\cdot t^2 \right \}

Conoces la distancia a la que está el blanco (x), y también la altura a la que se encuentra (y). Si despejas el tiempo de la primera ecuación y lo sustituyes en la segunda:

y = \frac{\cancel{v_0}\cdot x\cdot sen\ \alpha}{\cancel{v_0}\cdot cos\ \alpha} - \frac{g}{2}\cdot \frac{x^2}{v_0^2\cdot cos^2\ \alpha} = x\cdot tg\ \alpha - \frac{g\cdot x^2}{2v_0^2\cdot cos^2\ \alpha}

Ahora debes tener en cuenta una igualdad trigonométrica como es:

1 + tg^2\ \alpha = \frac{1}{cos^2\ \alpha}

Sustituyendo en la ecuación anterior obtienes la ecuación:

y = x\cdot tg\ \alpha - \frac{g\cdot x^2}{2v_0^2}(1 + tg^2\ \alpha)

Si sustituyes los datos que conoces obtienes la ecuación de segundo grado:

4.2 = 835tg\ \alpha - \frac{9.8\cdot 835^2}{348^2}(1 + tg^2\ \alpha)\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{28.21tg^2\ \alpha - 835tg\ \alpha + 32.41 = 0}}

Si haces x = tg\ \alpha y resuelves:

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{835+\sqrt{693567.8556}}{56.42}=29.6\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-835)\pm \sqrt{(-835)^2-4 \cdot28.21\cdot32.41}}{2 \cdot28.21}=\frac{835\pm \sqrt{693567.8556}}{56.42}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{835-\sqrt{693567.8556}}{56.42}=0.04\end{array}

Si deshaces el cambio obtienes que las posibles soluciones son \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha_1 = 88^o}}} y \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha_2 = 2.3^o}}} .