Velocidad y aceleración angular de un disco que gira por acción de un peso (798)

, por F_y_Q

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Un disco homogéneo de masa (M = 2 kg) y de radio (R = 10 cm) gira sin rozamiento alrededor de un eje fijo que pasa por su centro, bajo la acción de una masa (m = 2 kg) colgado de un hilo enrollado en el eje del disco de radio (r = 5 cm) y masa despreciable, tal y como se indica en la figura. Calcula:

a) La aceleración angular del disco.

b) La velocidad angular al cabo de 10 s.

c) La tensión de la cuerda.

P.-S.

Si analizas la situación que describe el enunciado puedes deducir que cuando el peso, que es vertical, tira de la cuerda, y esta del disco, se produce un giro del disco que provoca un momento de torsión o torque. Como el sistema parte del reposo, el movimiento es uniformemente acelerado, tanto en la traslación de la masa como en la rotación del disco. Vas a tener que considerar, por lo tanto, la segunda ley de Newton para la traslación de la masa y para la rotación del disco:

$$$ \text{Traslación}:\ \color{forestgreen}{\bf m\cdot g - T = m \cdot a} \quad (1)$$$
$$$ \text{Rotación}:\ \color{forestgreen}{\bf \tau = I\cdot \alpha} \quad (2)$$$

Para un disco homogéneo que gira en torno a su centro, el momento de inercia es:

$$$ \text{I} = \dfrac{\text{M}}{2}\cdot \text{R}^2$$$

Debes considerar que la cuerda no desliza sobre el eje pequeño (r = 5 cm), que es el quien provoca el torque. El radio del disco grande (R = 10 cm) lo debes tener en cuenta para el momento de inercia, pero no para el torque.

a) A partir de la ecuación (2) puedes obtener el valor de la tensión de la cuerda en función de datos conocidos. Para ello, debes reescribirla teniendo en cuenta el valor del momento de inercia y la relación de la aceleración angular con la aceleración lineal:

$$$ \tau = \text{T}\cdot \text{r} = \text{I}\cdot \alpha\ \to\ \text{T}\cdot \text{r} = \dfrac{\text{M}}{2}\cdot \text{R}^2\cdot \dfrac{\text{a}}{\text{r}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf T = \dfrac{MR^2}{2r^2}\cdot a} \quad (3)$$$

Sustituyes este valor de la tensión en la ecuación (1) y obtienes la aceleración:

$$$ \text{m}\cdot \text{g} - \dfrac{\text{M}\cdot \text{R}^2}{2\text{r}^2}\cdot \text{a} = \text{m}\cdot \text{a}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf a = \dfrac{m\cdot g}{m + \dfrac{M\cdot R^2}{2r^2}}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} a= \dfrac{2\ \cancel{\text{kg}}\cdot 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^2}{2\ \cancel{\text{kg}} + \dfrac{2\ \cancel{\text{kg}}\cdot 10^2\ \cancel{\text{cm}^2}}{2\cdot 5^2\ \cancel{\text{cm}^2}}} = \color{royalblue}{\bf 3.27\ m\cdot s^{-2}}$$$

La aceleración angular es inmediata:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \dfrac{a}{r}}}\ \to\ \alpha = \dfrac{3.27\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-2}}{5\cdot 10^{-2}\ \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 65.4\ s^{-2}}}$$$



b) Para calcular la velocidad angular tienes en cuenta la ecuación de la velocidad angular para un MCUA:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\omega = \cancelto{0}{\omega_0} + \alpha\cdot \text{t}}}\ \to\ \omega = 65.4\ \text{s}^\cancel{{-2}}\cdot 10\ \cancel{\text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 654\ s^{-1}}}$$$



c) La forma más rápida de calcular la tensión es sustituir en la ecuación (3):

$$$ \require{cancel} \text{T} = \dfrac{2\ \text{kg}\cdot 10^2\ \cancel{\text{cm}^2}}{2\cdot 5^2\ \cancel{\text{cm}^2}}\cdot 3.27\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 13.08\ N}}$$$

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