Máquina de Atwood: masa necesaria para que el sistema acelere (5307)

, por F_y_Q

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Dos cuerpos A y B, de 5 kg cada uno, están sujetos a una cuerda que pasa por una polea. ¿Qué masa debe añadirse a uno de los extremos para que recorra 1 metro en un tiempo de 3 segundos?

P.-S.

El sistema está en equilibrio inicialmente. Si colocas una masa «x» en un extremo, el sistema adquiere una aceleración. Como sabes el tiempo y la distancia que ha de recorre el sistema, la aceleración que debe adquirir es:

$$$ \require{cancel} \text{d} = \cancelto{0}{\text{v}_0}\cdot \text{t} + \dfrac{\text{a}}{2}\cdot \text{t}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{a = \dfrac{2d}{t^2}}} = \dfrac{2\cdot 1\ \text{m}}{3^2\ \text{s}^2} = \color{royalblue}{\bf 0.22\ m\cdot s^{-2}}$$$

Si aplicas la segunda ley de la dinámica a las fuerzas presentes en el sistema:

$$$ \color{forestgreen}{\bf p_1 - p_2 = M_T\cdot a}$$$

Supón que colocas la masa extra sobre el cuerpo 1 y la ecuación anterior queda como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf (m_1 + x)\cdot g - m_2\cdot g = (m_1 + x + m_2)\cdot a}$$$

Las masas $$$ \text{m}_1$$$ y $$$ \text{m}_2$$$ son iguales a 5 kg cada una. Si sustituyes en la ecuación:

$$$ (5 + x - 5)\cdot \text{g} = (5 + x + 5)\cdot \text{a}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf x\cdot g = (10 + x)\cdot a}$$$

Sustituyes los valores de las aceleraciones y despejas el valor de «x»:

$$$ \text{x}\cdot \dfrac{\text{g}}{\text{a}} = 10 + \text{x}\ \to\ \dfrac{9.8}{0.22}\text{x} - \text{x} = 10\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 43.45x = 10}$$$

La masa que habrá que colgar es:

$$$ \text{m} = \dfrac{10}{43.45} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 0.23\ kg}}$$$

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