Teorema de Gauss: flujo a través de las caras de un cubo (7211)

, por F_y_Q

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El cubo de la figura tiene los lados de longitud L = 10.0 cm y el campo eléctrico uniforme tiene un módulo de E = 4.00\cdot 10^3\ \textstyle{N\over C} , siendo paralelo al plano XY y formando un ángulo de 36.9^o a partir del eje +X y hacia el eje +Y.

a) ¿Cuál es el flujo a través de cada una de las seis caras del cubo?

b) ¿Cuál es el flujo eléctrico total a través de todas las caras del cubo?

P.-S.

El vector del campo eléctrico uniforme, teniendo en cuenta el ángulo que forma con los ejes X e Y, queda como:

\vec E = E\cdot cos\ 36.9\ \vec i + E\cdot sen\ 36.9\ \vec j\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\vec{E} = 3.2\cdot 10^3\ \vec i + 2.4\cdot 10^3\ \vec j}}

a) El flujo se define como el producto escalar del campo eléctrico y el vector normal a la superficie considerada cuyo módulo es el área de esa superficie. Al ser un cubo, el área de las caras es:

L^2 = 0.1^2\ m^2 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{10^{-2}\ m^2}}

El producto escalar depende del coseno del ángulo que formen el campo y cada una de las caras a considerar, por lo que será cero si las componentes de los vectores son perpendiculares entre sí:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = E\cdot S\cdot cos\ \alpha}}

Flujo en las caras 1 y 3.

El vector unitario asociado a estas caras es \vec j, siendo negativo para S_1 y positivo para S_3:

\Phi_1 = 3.2\cdot 10^3\cdot (-10^{-2})\cdot \cancelto{0}{cos\ (\vec i, \vec j)} + 2.4\cdot 10^3\cdot (-10^{-2})\cdot \cancelto{1}{cos\ (\vec j, \vec j)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-24\ \frac{N\cdot m^2}{C}}}}


\Phi_3 = 3.2\cdot 10^3\cdot 10^{-2}\cdot \cancelto{0}{cos\ (\vec i, \vec j)} + 2.4\cdot 10^3\cdot 10^{-2}\cdot \cancelto{1}{cos\ (\vec j, \vec j)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{24\ \frac{N\cdot m^2}{C}}}}


Flujo en las caras 5 y 6.

La forma de proceder es análoga al razonamiento anterior pero teniendo en cuenta que el vector unitario asociado a estas caras es \vec i y el producto que será distinto de cero será el que tenga en cuenta la componente \vec E_x del campo, resultando:

\Phi_5 = 3.2\cdot 10^3\cdot 10^{-2}\cdot cos\ 0 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{32\ \frac{N\cdot m^2}{C}}}}



\Phi_6 = 3.2\cdot 10^3\cdot (-10^{-2})\cdot cos\ 0 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{- 32\ \frac{N\cdot m^2}{C}}}}


Flujo en las caras 2 y 4.

En este caso se trata de caras que tienen asociado el vector unitario \vec k. Como el campo se sitúa en el plano XY formará un ángulo de 90 ^o con esas caras y el flujo será cero en ambos casos:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Phi_2 = \Phi_4 = 0}}}


b) El flujo total lo obtienes haciendo la suma de los flujos calculados antes:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\Phi_T = \sum \Phi_i = 0}}}