Presión total de un sistema gaseoso después de una hora (4811)

, por F_y_Q

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El reactivo A se descompone según la reacción: \ce{A -> 2B + C + D} , siendo una reacción homogénena en fase gaseosa. Se tiene un mol de A en un recipiente de 2 L a 120 ^oC. Halla la presión total del recipiente al cabo de una hora a partir de los datos de la tabla siguiente:

\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | } \hline T (^\circ\ C) & 40 & 60 & 80 & 100\\\hline k (M^{-1}\cdot s^{-1}) & 6.22\cdot 10^{-8} & 9.11\cdot 10^{-6} & 9.85\cdot 10^{-6} & 8.24\cdot 10^{-5}\\\hline \end{tabular}

P.-S.

La estrategia que vamos a plantear para abordar el ejercicio será deteminar el valor de la constante de velocidad para la temperatura de trabajo, que son 393 K (no puedes olvidar que hay que expresarla en escala absoluta), para luego calcular la concentración final de A al cabo de una hora, siguiendo la cinética de la reacción, que es de segundo orden y que se puede deducir a partir de las unidades de la constante de velocidad. Recuerda que la unidad de la velocidad es siempre v\ (\textstyle{mol\over L\cdot s}) , por lo que la ley cinética de la reacción planteada ha de ser \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = k\cdot [A]^2}} .

La energía de activación puede ser calculada a partir de la ecuación de Arrhenius:

ln\frac{k_1}{k_2} = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)

Si despejas la energía de activación y sustituyes por un par de datos de la tabla facilitada, por ejemplo los datos referidos a 60 y 100 grados (aunque puede ser cualquier otro par de datos), obtienes:

E_a = \frac{ln \left(\frac{k_1}{k_2}\right)\cdot R}{\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)} = \frac{ln \left(\frac{9.11\cdot 10^{-6}}{8.24\cdot 10^{-5}}\right) \cdot 8.314\ \frac{J}{mol}}{\frac{1}{373} - \frac{1}{333}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.69\cdot 10^4\ \frac{J}{mol}}}

Ahora puedes calcular el valor de la constante de velocidad a la temperatura de trabajo, una vez que conoces la energía de activación, usando la misma ecuación de antes pero despejando el logaritmo de la constante k _2:

ln\ k_2 = ln\ k_1 - \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)

k_2 = e^{ln\ 9.11\cdot 10^{-6} - \frac{5.69\cdot 10^4}{8.314}\left(\frac{1}{393} - \frac{1}{333}\right)} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.1\cdot 10^{-4}\ \frac{L}{mol\cdot s}}}

Al ser una reacción de segundo orden puedes escribir su velocidad, como variación de la concentración de A con el tiempo, e integrar la expresión:

v = -\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{k\cdot dt = -\frac{d[A]}{[A]^2}}}

Si integras esta ecuación obtienes la concentración de A al cabo de una hora:

\int_0^t k\cdot dt = \int_i^f -\frac{d[A]}{[A]^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{1}{[A]_f} = k\cdot \Delta t + \frac{1}{[A]_i}}}

Sustituyes en esta ecuación y luego haces la inversa al resultado obtenido. La concentración inicial de A es 0.5 M porque el volumen del recipiente es de 2 L:

\frac{1}{[A]_f} = \frac{1}{0.5}\ \frac{1}{M} + 2.1\cdot 10^{-4}\ \frac{1}{M\cdot \cancel{s}}\cdot 3.6\cdot 10^3\ \cancel{s} = 2.756\ \frac{1}{M}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{[A]_f = 0.363\ M}}

Si sigues la estequiometría del proceso de descomposición puedes obtener las concentraciones de cada especie en el equilibrio:

[A]_{eq} = 0.363\ M ; [B]_{eq} = 0.274\ M ; [C]_{eq} = [D]_{eq} = 0.137\ M

La presión total del sistema será:

P_T = \frac{n_t\cdot R\cdot T}{V} = c_TRT

Sumas las concentraciones en el equilibrio y sustituyes:

P_T = 0.911\ \frac{\cancel{mol}}{\cancel{L}}\cdot 0.082\frac{atm\cdot \cancel{L}}{\cancel{K}\cdot \cancel{mol}}\cdot 393\ \cancel{K} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 29.4\ atm}}