EBAU Andalucía: física (junio 2017) - ejercicio A.1 (4176)

, por F_y_Q

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a) Dos partículas, de masas m y 2m, se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia d. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio Justifica las respuestas.

b) Dos masas de 10 kg se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos (0, 0) m, (0, 4) m. Representa en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto (2, 2) m y calcula su valor.

Dato: G = 6.,67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}

P.-S.

a) El campo gravitatorio es una magnitud vectorial. Eso quiere decir que el punto por el que te preguntan debería estar entre ambas masas y debería cumplir que los módulos de los campos gravitatorios de ambas masas deben ser iguales. Como puedes ver en el esquema, si llamamos x a la distancia desde ese punto al cuerpo de menor masa (1), la otra distancia habrá de ser d - x:


Tienes que imponer la condición de que la suma vectorial sea nula y esto te lleva a que los módulos han de ser iguales:

\vec{g}_1 + \vec{g}_2 = 0\ \to\ g_1 = g_2

G\cdot \frac{m}{x^2} = G\cdot \frac{2m}{(d - x)^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(d - x)^2}}}

(Puedes cancelar tanto G como m por estar en ambos miembros en el numerador).

Resuelves la ecuación:

(d - x)^2 = 2x^2\ \to\ d^2 - 2dx + x^2 = 2x^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x^2 + 2dx - d^2 = 0}}

Resuelves la ecuación de segundo grado:

x = \frac{-2d\pm \sqrt{4d^2 + 4d^2}}{2} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{-2d\pm \sqrt{8d^2}}{2}}}

Debes ser capaz de simplificar el resultado obtenido. Para ello trabajas sobre el radicando:

x = \frac{-2d\pm 2\sqrt 2 d}{2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x = -d\pm \sqrt 2 d}}

Recuerda que estás resolviendo una cuestión de física, es decir, que la expresión anterior ha de tener significado físico. Esto quiere decir que el término negativo puedes desecharlo porque estás calculando una distancia, por lo que te queda la ecuación:

x = -d + \sqrt 2 d\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x = d(\sqrt 2 - 1)}}}


Esto quiere decir que el punto que buscas estará situado a una distancia \color[RGB]{192,0,0}{\bm{d(\sqrt 2 - 1)}} de la carga de menor masa.

Para responder a la pregunta sobre el potencial gravitatorio tienes que recordar que el potencial gravitatorio es una magnitud escalar.

Se define como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{V = -G\cdot \frac{m}{d}}}

Como puedes ver, es siempre negativo para una masa en el espacio pero es un NÚMERO. El potencial de ambas masas serán números negativos por lo que la suma de dos cantidades negativas es siempre una cantidad negativa, es decir, que no puede ser nulo en ningún punto.

b) En este apartado es fundamental que hagas un buen esquema de la situación. Para resolver el apartado vas a descomponer los vectores de los campos gravitatorios de ambas masas. El esquema de la situación quedaría como sigue:


(Está dibujado en azul el triángulo rectángulo que sirve para determinar la distancia que separa al punto P de las dos masas consideradas).

La descomposición de los vectores \vec{g}_1 y \vec{g}_2 dará lugar a dos componentes verticales iguales de sentido contrario, cuya suma es cero, y dos componentes horizontales de la misma dirección y sentido decreciente, es decir, negativo. Puedes escribir la suma vectorial de ambos campos como:

\vec{g}_T = \vec{g}_1 + \vec{g}_2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\vec{g}_T = \vec{g}_{1x} + \vec{g}_{2x}}}

El ángulo que forman los vectores con el eje horizontal es 45 ^o, dado que la tangente es uno. Esta suma vectorial queda como:

\vec{g}_T = -G\cdot \frac{m}{d^2}(sen\ 45^o + sen\ 45^o)\ \vec i

\vec{g}_T = -\frac{6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{kg\cancel{^{2}}}\cdot 10\ \cancel{kg}}{(\sqrt 8)^2\ \cancel{m^2}}}\cdot \left(\frac{\sqrt 2}{2} + \frac{\sqrt 2}{2}\right)\ \vec i = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-1.18\cdot 10^{-10}\ \vec i\ (\frac{N}{kg})}}}