EjerciciosFyQ

Aceleración de un disco homogéneo que rueda por un plano inclinado (791)

F_y_Q — 2026-04-30T05:28:17Z

Deduce la expresión de la aceleración que adquiere un disco homogéneo que rueda, sin deslizar, por un plano inclinado.

Para hacer la deducción debes considerar las fuerzas que actúan sobre el disco y su momento de fuerza o torque.

Sobre el disco actúan:
a) La componente «x» del peso, paralela a la superficie del plano inclinado: $$$ \text{p}_\text{x} = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta$$$.
b) La normal, que es perpendicular a la superficie del plano inclinado e igual a la componente «y» del peso: $$$ N = \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.
c) El rozamiento estático, que es paralelo al plano y se opone al movimiento. Es: $$$ F_R = \mu\cdot \text{m}\cdot \text{g}\cdot \text{cos}\ \theta$$$.

Si aplicas la segunda ley de Newton obtienes la aceleración con la que se traslada el centro de masas del disco:

$$$ \color{forestgreen}{\bf p_x - F_R = m\cdot a} \quad (1)$$$

Como también existe un movimiento de rotación, debes tener en cuenta el momento de fuerza con respecto al centro de masas. La única fuerza que produce torque es la fuerza de rozamiento, dado que el peso y la normal pasan por el centro de masas. El torque es:

$$$ \tau = \text{F}_\text{R}\cdot \text{R} = \text{I}\cdot \alpha\ \to\ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot \alpha}{R}} \quad (2)$$$

siendo «R» el radio del disco, «I» su momento de inercia y «$$$ \alpha$$$» la aceleración angular.

Para que el disco ruede sin deslizamiento se debe cumplir la siguiente condición:

$$$ \text{a} = \alpha\cdot \text{R}\ \Rightarrow\ \color{forestgreen}{\bf \alpha = \dfrac{a}{R}} \quad (3)$$$

Si sustituyes la ecuación (3) en la ecuación (2):

$$$ \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{I\cdot a}{R^2}}$$$

El momento de inercia de un disco homogéneo es:

$$$ \color{royalblue}{\bf I = \dfrac{m\cdot R^2}{2}}\ \quad (4)$$$

Sustituyes el valor de «I» en la ecuación de la fuerza de rozamiento y obtienes:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{R} = \dfrac{\text{m}\cdot \cancel{\text{R}^2}\cdot \text{a}}{2\ \cancel{\text{R}^2}}\ \to \color{forestgreen}{\bf F_R = \dfrac{m\cdot a}{2}} \quad (5)$$$

Ya puedes sustituir (5) en la ecuación (1) para obtener la expresión que buscas:

$$$ \require{cancel} \cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta - \dfrac{\cancel{\text{m}}\cdot a}{2} = \cancel{\text{m}}\cdot \text{a}\ \to\ \text{g}\cdot \text{sen}\ \theta = \dfrac{3\text{a}}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf a = \dfrac{2g\cdot sen\ \theta}{3}}}$$$

Óptica física: interferencia en una cuña de vidrio (8575)

F_y_Q — 2025-12-06T04:19:32Z

Se dispone de dos láminas planas de vidrio, cuyo índice de refracción es $$$ \text{n}_\text{v} = 1.5$$$, de longitud L = 10 cm. Una de ellas se apoya sobre la otra, pero en un extremo se separa mediante un alambre delgado de diámetro «d», formando una cuña de aire de ángulo muy pequeño «$$$ \alpha$$$», como se muestra en la figura:

El índice de refracción del aire es $$$ \text{n}_\text{a} = 1.0$$$. Se ilumina el sistema desde arriba con luz incidente normal a las láminas.

Parte A:

Cuando se utiliza luz monocromática de longitud de onda $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$, se observa un patrón de interferencia formado por franjas brillantes y oscuras. A lo largo de toda la longitud «L» se cuentan exactamente 20 franjas brillantes. Calcula:

i) El ángulo «$$$ \alpha$$$» de la cuña de aire.

ii) El diámetro «d» del alambre.

Parte B:

Ahora se ilumina la cuña con luz blanca, el espectro visible recorre los valores de longitud de onda desde 400 nm a 700 nm. Describe cualitativamente qué se observa en:

iii) El extremo donde las láminas están en contacto, «x = 0».

iv) En una posición ubicada a «x = 2 cm» del borde de contacto.

Las interferencias en una lámina delgada, cuando la luz incide normalmente sobre una cuña de aire, los rayos reflejados en la superficie superior e inferior interfieren. La diferencia de camino óptico es $$$ \delta = 2\text{n}_\text{a}\cdot \text{t} + \frac{\lambda}{2}$$$, donde el término $$$ \frac{\lambda}{2}$$$ surge del cambio de fase $$$ \pi$$$ en la reflexión en la interfaz aire-vidrio inferior, porque la reflexión en la interfaz vidrio-aire superior no produce cambio de fase porque «$$$ \text{n}_\text{v}$$$» es mayor que «$$$ \text{n}_\text{a}$$$».

La interferencia será constructiva cuando $$$ \delta = \text{m}\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 1, 2, 3,...». La interferencia será destructiva cuando $$$ \delta = (\text{m} + \frac{1}{2})\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 0, 1, 2,...».

El término «t» hace referencia al espesor de aire y está relacionado con la distancia «x» al vértice en el que se unen ambas láminas de vidrio y es función del ángulo: «$$$ \text{t}(x) = \alpha\cdot x$$$». En el extremo derecho. «$$$ \text{t(L)} = \text{d} = \alpha\cdot \text{L}$$$».

Parte A: Luz monocromática con $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$.

i) Para calcular el ángulo de la cuña de aire debes comenzar por analizar la posición de las franjas brillantes. Para ello, tienes en cuenta la ecuación de las interferencias constructivas:

$$$ 2\text{t} + \dfrac{\lambda}{2} = \text{m}\cdot \lambda\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 2t = \left( m - \dfrac{1}{2} \right) \lambda}$$$

Reescribes la ecuación anterior porque «t» depende del ángulo de la cuña, que es lo que quieres calcular:

$$$ 2\alpha\cdot x = \left(\text{m} - \dfrac{1}{2} \right) \lambda\ \to\ \ \color{forestgreen}{\bf{x_\text{m} = \dfrac{(\text{m} - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}}}, \quad \text{m} = 1, 2, 3, \dots$$$

La primera franja brillante se da cuando «m = 1», la segunda será para «m = 2» y así sucesivamente:

$$$ \color{royalblue}{\bf x_1 = \dfrac{\lambda}{4\alpha}}$$$
$$$ \color{royalblue}{\bf x_2 = \dfrac{3\lambda}{4\alpha}}$$$

El espaciado entre franjas brillantes consecutivas es constante:

$$$ \Delta x = x_{\text{m}+1} - x_\text{m}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Delta x = \dfrac{\lambda}{2\alpha}}$$$

Como son 20 las franjas brillantes a lo largo de la longitud «L», y si asumes que la primera franja brillante aparece cerca del borde en el que están en contacto las láminas y la última en el extremo opuesto, la franja número 20 corresponde a:

$$$ x_{20} = \text{L} = \dfrac{(20 - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf L = \dfrac{39 \lambda}{4\alpha}}$$$

Ahora puedes despejar el valor de «$$$ \alpha$$$» y calcularlo:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \dfrac{39\lambda}{4L}}}\ \to\ \alpha = \dfrac{39\cdot 600\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 0.1\ \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-5}\ \text{rad}}}$$$

ii) El cálculo del diámetro del alambre es inmediato si tienes en cuenta que cuando «x = L» se cumple que «t = d»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{d = \alpha\cdot L}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.1\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-6}\ m}}$$$

Parte B: Luz blanca con $$$ 400\ \text{nm} \leq \lambda \leq 700\ \text{nm}$$$.

En este caso, cada una de las longitudes de onda interfiere según su propia condición, por lo que el patrón resultante será una superposición de franjas coloreadas.

iii) Donde las láminas están en contacto «t = 0». La diferencia de camino óptico es el mismo para todas las longitudes de onda $$$ (\delta = \frac{\lambda}{2})$$$, que coincide con las interferencias destructivas. Eso quiere decir que se observará una franja oscura en ese punto.

iv) Lo primero que debes hacer es calcular el espesor de aire que corresponde a la distancia «x = 2 cm» del extremo izquierdo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{t = \alpha\cdot x}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.02\ \text{m} = \color{royalblue}{\bf 1.17\cdot 10^{-6}\ m}$$$

La condición para interferencia constructiva es:

$$$ 2\text{t} = \left(\text{m} - \frac{1}{2} \right) \lambda, \quad (\text{Ec}.\ 1)$$$

Despejas el valor de «m» en la ecuación y obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda} + \dfrac{1}{2}}$$$

Si impones los límites de la longitud de onda en el espectro visible puedes calcular los órdenes «m» para los que estás dentro del visible:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 6.37\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 3.84\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 4}$$$

Si despejas el valor de la longitud de onda de la «Ec.1» obtienes:

$$$ \lambda = \dfrac{2\text{t}}{\text{m} - \frac{1}{2}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{4t}{2m - 1}}}, \quad m = 4, 5\ \text{y}\ 6$$$

Haces el cálculo para los valores de «m» del visible y obtienes las longitudes de onda:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{7} = 6.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 668\ \text{nm} \quad (rojo)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{9} = 5.20\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 520\ \text{nm} \quad (verde)}}$$$

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{11} = 4.25\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 425\ \text{nm} \quad (violeta)}}$$$

Para las interferencias destructivas puedes hacer una deducción análoga a la que has realizado para las interferencias constructivas. La condición de interferencia destructiva es:

$$$ 2\text{t} = \text{m}\cdot \lambda \quad (\text{Ec}.\ 2)$$$

Si despejas el valor de «m» obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda}}$$$

Los valores de «m» para los extremos de longitud de onda para el visibles son:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 5.85\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 3.34\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 3}$$$

Si despejas la longitud de onda de la «Ec. 2» obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{2t}{m}}$$$

Sustituyes los valores de «m» calculados en esta última ecuación:

$$$ (\text{m} = 3)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{3} = 7.8\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 780\ nm}$$$

Este valor está fuera del rango visible porque es un valor extremo. Puedes analizar qué pasa con el otro valor extremo:

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{6} = 3.9\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 390\ nm}$$$

También queda fuera del intervalo del espectro visible, aunque muy cerca del violeta. Los valores intermedios sí que deben coincidir con el rango del espectro visible:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{4} = 5.85\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 585\ nm \quad (amarillo-naranja)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{5} = 4.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 468\ nm \quad (azul)}}$$$

Como el espectro es continuo, en «x = 2 cm» se observará una mezcla de colores, con intensidades máximas (franjas brillantes) en tonos rojos, verdes y violetas, y mínimos (franjas oscuras) en tonos amarillo-naranja y azul. Este patrón de bandas de colores irisados es característico de la interferencia de luz blanca en películas delgadas.

Flujo magnético, fuerza electromotriz y corriente inducida en un generador (8572)

F_y_Q — 2025-11-30T16:13:48Z

Un generador simple consiste en una bobina rectangular de «N» espiras, con lados «a» y «b», que gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$» en un campo magnético uniforme «$$$ \text{B} = \text{B}_0\cdot \vec{\text{z}}$$$». La bobina tiene una resistencia total «R». En el instante inicial «t = 0», el vector normal a la superficie de la bobina es paralelo al campo magnético. Calcula:

a) El flujo magnético a través de la bobina en función del tiempo.

b) La fuerza electromotriz inducida.

c) La corriente inducida y potencia disipada en la bobina.

d) El par mecánico necesario para mantener el movimiento.

e) ¿Se conserva la energía en el sistema?

a) El flujo a través de una espira es:

$$$ \Phi_1 = \vec{\text{B}} \cdot \vec{\text{S}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \Phi_1 = B_0\cdot S\cdot \cos(\theta)}$$$

donde «$$$ \theta$$$» es el ángulo entre «$$$ \vec{\text{B}}$$$» y el vector normal a la superficie «$$$ \vec{\text{S}}$$$».

Dado que la bobina gira con velocidad angular constante «$$$ \omega$$$», y en «t = 0» el flujo es máximo, es decir, $$$ \theta(t) = \omega\cdot \text{t}$$$ y la superficie de la espira es «$$$ \text{S} = \text{a}\cdot \text{b}$$$». Para «N» espiras:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = N\cdot B_0\cdot S\cdot cos(\omega t)}}$$$

b) La fuerza electromotriz inducida la puedes obtener a partir de la ley de Faraday:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(\text{t}) = -\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{dt}}}\ \to\ \varepsilon(\text{t}) = -\text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\, \dfrac{\text{d}}{\text{dt}}[\text{cos}(\omega \text{t})]\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(\text{t}) = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega\cdot sen(\omega t)}}$$$

Puedes definir un valor de «fem» máximo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon_0 = N\cdot B_0\cdot S\cdot \omega}$$$

La «fem» en función del tiempo quedaría escrita como:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = \varepsilon_0\cdot sen(\omega t)}}$$$

c) A partir de la ley de Ohm puedes aprender la corriente inducida:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{I(t)} = \dfrac{\varepsilon(\text{t})}{\text{R}}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf I(t) = \dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$

La potencia instantánea disipada en la bobina por el efecto Joule es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\text{P(t)} = \text{I}^2\cdot \text{R}}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf P(t) = \dfrac{\varepsilon_0^2}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$

Si refieres la potencia a un periodo ($$$ T = 2\pi\cdot \omega^{-1}$$$), la potencia media es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \text{sen}^2(\omega\text{t})}}\ \to\ \bar{\text{P}} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{\text{R}}\cdot \dfrac{1}{2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \dfrac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$

d) La bobina, al circular corriente, experimenta un par magnético:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{\tau} = \vec{\text{m}}\times \vec{\text{B}}}$$$

El momento dipolar de la bobina es: $$$ \text{m} = \text{N}\cdot \text{I}\cdot \text{S}$$$. Si lo expresas en función del tiempo:

$$$ \text{m(t)} = \text{N}\cdot \text{I(t)}\cdot \text{S}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = N \left[\dfrac{\varepsilon_0}{R}\cdot sen(\omega t) \right]\cdot S}}$$$

Si sustituyes $$$ \varepsilon_0 = \text{N}\cdot \text{B}_0\cdot S\cdot \omega$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen(\omega t)}}$$$

El módulo del par magnético es:

$$$ \tau_m(t) = m(t) B_0 \sin(\omega t)$$$

Dado que el ángulo entre $$$ \vec{\text{m}}$$$ y $$$ \vec{\text{B}}$$$ es $$$ \omega\text{t}$$$:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\tau_m(t) = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{R}\cdot sen^2(\omega t)}}$$$

Para mantener la velocidad angular constante, hay que aplicar un par externo que sea igual y opuesto al par magnético medio de resistencia:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{\tau} = \dfrac{N^2\cdot B_0^2\cdot S^2\cdot \omega}{2R}}}$$$

e) La potencia mecánica suministrada es:

$$$ \bar{\text{P}} = \bar{\tau}\cdot \omega = \dfrac{\text{N}^2\cdot \text{B}_0^2\cdot \text{S}^2\cdot \omega^2}{2\text{R}}$$$

Esta potencia suministrada coincide con la potencia disipada en la resistencia. Si lo escribes en función de la «fem» máxima:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \bar{P} = \frac{\varepsilon_0^2}{2R}}}$$$

La conclusión es que se cumple el principio de conservación de la energía porque la potencia mecánica entregada para girar la bobina se transforma íntegramente en potencia eléctrica disipada en la resistencia.

Función de onda de una partícula cuántica como combinación lineal de los estados estacionarios (8466)

F_y_Q — 2025-05-29T11:34:42Z

Considera una partícula cuántica de masa «m» confinada en un pozo de potencial unidimensional infinito en el intervalo . En el instante t = 0, la función de onda de la partícula viene dada por:

a) Normaliza la función de onda inicial y verifica que ya está normalizada.

b) Expresa como una combinación lineal de los estados estacionarios del pozo infinito.

c) Determina la función de onda en un tiempo t > 0.

d) Calcula la probabilidad de que, al medir la energía, se obtenga el valor correspondiente al primer estado excitado (n = 2).

a) La función de onda inicial estará normalizada cuando cumpla la condición:

Escribes la ecuación sustiyendo la función de onda:

Si desarrollas el cuadrado y divides en tres integrales:

Las integrales son inmediatas y las calculas entre los límites de integración:

Si sacas factor común y simplificas:

Como puedes ver, la función de onda está normalizada.

b) La ecuación de los estados estacionarios de un pozo infinito es:

Tienes que expresar la función de onda como combinación lineal de los estados estacionarios:

Los coeficientes los calculas de esta manera:

Si operas con las constantes que está fuera del integrando tienes:

La resolución de la integral la haces en dos partes:

Combinas los términos anteriores y tienes:

Si tienes en cuenta que para valores pares de «n» los términos se cancelan y simplificas, obtienes:

Por lo tanto, para valores pares de «n» los coeficientes son nulos y para valores impares de «n» obtienes:

c) La función de onda en función del tiempo, escrita como combinación lineal de los estados estacionarios, es:

donde el término es:

d) Como para cualquier valor par de «n», la probabilidad de encontrar es nula, es decir:

Esto ocurre porque la función de onda es una combinación de estados estacionarios impares, como has calculado en el segundo apartado del problema.

Análisis dimensional de la fuerza «centrígufa» en un sistema no inercial (8458)

F_y_Q — 2025-05-10T02:46:25Z

En mecánica, la fuerza «centrífuga» en un sistema rotatorio no inercial se expresa como:

donde: «m» es la masa de la partícula (en kg), «» es la velocidad angular y «» es el vector de posición, todas la magnitudes expresadas en unidades SI.

a) Determina las dimensiones de la fuerza «centrífuga» y verifica que coincidan con las de una fuerza.

b) Si y r = 0.5 m, calcula el módulo de la fuerza «centrífuga» para una masa de 3 kg.

a) Puedes simplificar la expresión vectorial del enunciado, expresada en módulo, como:

Si sustituyes en la ecuación con las dimensiones de cada una de las magnitudes obtienes:

Como puedes ver, coincide con las dimensiones de fuerza en el SI.

b) Si sustituyes los datos indicados en el enunciado en la ecuación del módulo:

Velocidad y aceleración de un móvil en función del tiempo (8457)

F_y_Q — 2025-05-08T07:13:33Z

Un móvil describe una trayectoria en el plano XY dada por el vector de posición, expresado en unidades SI:

a) Determina los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.

b) Calcula los vectores velocidad y aceleración en el instante .

c) Halla el módulo de la velocidad y de la aceleración en .

a) Para obtener el vector velocidad tienes que derivar el vector de posición dado, en función del tiempo:

La velocidad es:

La aceleración la obtiene al derivar la velocidad con respecto al tiempo:

La aceleración es:

b) Para obtener los vectores en un instante dado, solo tienes que sustituir el valor en las ecuaciones de cada vector:

c) El cálculo de los módulos lo haces en función de las componentes de cada vector, según la ecuación:

Para la velocidad, como solo hay una componente, el módulo es:

Para la aceleración es:

Constante de desintegración y actividad radiactiva de la desintegración alfa del radio (8455)

F_y_Q — 2025-05-07T05:12:27Z

Un núcleo de (radio-226) experimenta desintegración con una vida media años, transformándose en (radón-222).

a) Escribe la reacción nuclear correspondiente a este proceso.

b) Calcula la constante de desintegración (), expresada en .

c) Determina la actividad inicial de una muestra de 1.00 g de .

d) ¿Cuánto tiempo tardará la muestra en reducir su actividad al del valor inicial, expresado en años?

Datos: ; .

a) La desintegración del produce un núcleo de y una partícula alfa:

^{222}_{86}Rn + ^4_2He}}}}" title="\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\textbf{\ce{^{226}_{88}Ra -> ^{222}_{86}Rn + ^4_2He}}}}" />

b) La vida media está relacionada con la constante de desintegración por medio de la ecuación:

Debes expresar la vida media en segundos:

Sustituyes este valor y calculas la constante de desintegración:

c) La actividad se define en función del número de núcleos radiactivos con la ecuación:

Tienes que determinar el número de núcleos que están contenidos en el gramo de radio de partida. Para ello, multiplicas los moles de radio por el número de Avogadro, según la ecuación:

Sustituyes y calculas:

La actividad inicial es:

d) La actividad decae exponencialmente con el tiempo según la ecuación:

Como la actividad debe ser el de la actividad inicial, la ecuación anterior queda como:

Despejas el valor de «t» y calculas:

Lo último que debes hacer es el cambio de unidades para expresar el tiempo en años:

Trabajo y potencia de una fuerza variable que provoca un desplazamiento (8450)

F_y_Q — 2025-05-05T18:03:33Z

Un bloque de 5 kg de masa se desplaza sobre una superficie horizontal bajo la acción de una fuerza variable , donde «x» es la posición en metros. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es .

a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza cuando el bloque se mueve desde x = 0 hasta x = 10 m.

b) Determina el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el mismo desplazamiento.

c) Si el bloque parte del reposo en x = 0, ¿cuál será su velocidad en x = 10 m?

d) ¿Qué potencia media desarrolla la fuerza durante este proceso?

Dato:

a) El trabajo realizado por la fuerza variable dada es:

Si sustituyes los límites de integración, el valor de la fuerza e integras:

b) La fuerza de rozamiento, debida al coeficiente de rozamiento cinético, es constante y se opone al movimiento:

El trabajo de la fuerza de rozamiento es:

c) Dado que conoces el trabajo debido a la fuerza y el trabajo de rozamiento, puedes aplicar el teorema de las fuerzas vivas para determinar la velocidad final del bloque:

Si escribes la energía cinética en función de la velocidad y la despejas:

Sustituyes los datos en la ecuación y calculas:

d) La potencia media se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo:

Primero necesitas calcular el tiempo que tarda el bloque en moverse desde hasta 10 m, por lo que tienes que calcular la aceleración del bloque. La fuerza neta sobre el bloque es:

La aceleración es, por lo tanto:

Esta aceleración no es constante, por lo que debes resolver la ecuación diferencial del movimiento:

Es mejor expresar la aceleración en función de «dx»:

Separas variables e integras:

Para x = 0 la velocidad es cero y, por lo tanto, la constante de integración C = 0. La ecuación que obtienes es:

Para hallar tienes que integrar la velocidad:

La resolución de esta integral es compleja y la debes hacer en varios pasos. Primero puedes factorizar el radicando:

Ahora puedes reescribir la integral anterior, sacando fuera del integrando la constante:

La resuelves por sustitución haciendo:

La nueva integral es:

Operas en radicando y obtienes:

El resultado de la integral es:

La potencia media es:

Fuerza necesaria para que la fuerza resultante tenga una dirección e intensidad dados (8446)

F_y_Q — 2025-04-23T05:11:45Z

Si se requiere que la fuerza resultante actúe a lo largo del eje «u» positivo y que tenga una magnitud de 5 kN, determina la magnitud requerida de y su dirección .

Debes determinar el módulo del vector , y su direccióna , para que se cumplan las condiciones dadas en el enunciado. Lo primero que debes hacer es descomponer las fuerzas que aparecen en el esquema.

La fuerza solo tiene componente horizontal, por lo que será:

La fuerza forma un ángulo con el eje X, por lo que la puedes descomponer como:

La fuerza resultante, que debe estar en la dirección «u» y con un módulo de 5 kN, tendrá como componentes:

El siguiente paso es igualar la suma de las componentes de las fuerzas «A» y «B» a las componentes de la fuerza resultante:

Si divides las componentes puedes calcular el ángulo:

El valor negativo indica que está por debajo del eje X.

El cálculo del módulo de la fuerza «B» lo puedes hacer usando cualquiera de las dos ecuaciones anteriores:

Conducción del calor en una barra de acero con generación interna (8445)

F_y_Q — 2025-04-21T02:56:59Z

Una barra cilíndrica de acero inoxidable (AISI 304) de 10 cm de diámetro y 50 cm de longitud genera calor internamente a una tasa uniforme de . La superficie lateral de la barra está perfectamente aislada térmicamente, y sus dos extremos se mantienen a una temperatura constante de mediante un sistema de refrigeración. La conductividad térmica del acero inoxidable (AISI 304) a la temperatura de interés es de .

Determina:

a) La distribución de temperatura a lo largo de la barra en función de la posición axial.

b) La temperatura máxima en la barra y la ubicación donde se produce.

c) El flujo de calor en cada uno de los extremos de la barra.

a) Como la superficie lateral de la barra está aislada, solo consideras la dirección axial «x». La ecuación de conducción de calor en estado estacionario con generación interna de calor en coordenadas unidimensionales, para el eje axial «x» es:

donde «T(x)» es la temperatura en función de la posición axial «x», la tasa de generación de calor por unidad de volumen es y la conductividad térmica del acero es .

Integras la ecuación diferencial para obtener la distribución de temperatura, lo que puedes hacer en dos pasos.

Primera integración:

Segunda integración:

Para calcular las constantes de integración y debes aplicar las condiciones de contorno del problema:

1. Si x = 0, T(0) = 323 K:

2. Si x = 0.5 m, T(0.5) = 323 K y sustituyendo también :

Sustituyes los valores de las constantes que has calculado en la ecuación de la segunda integral y tienes la ecuación de la distribución de la temperatura:

b) Para determinar dónde se produce la temperatura máxima debes igualar a cero la derivada de la ecuación que has obtenido:

La temperatura máxima la obtienes al sustituir por el valor de «x» en la ecuación de la distribución de temperatura:

c) El flujo de calor se calcula en los extremos lo calculas mediante la ley de Fourier:

El área de la sección transversal de la barra es:

El flujo de calor para «x = 0» es:

El flujo de calor para «x = 0.5» lo obtienes de manera análoga. Los dos primeros términos son constantes, por lo que puedes escribir el producto de ellos directamente:

El flujo de calor en los extremos es el mismo, aunque de signo contrario. La diferencia entre ambos valores es muy pequeñas y se debe a las aproximaciones hechas durante los cálculos.