EjerciciosFyQ

Óptica física: interferencia en una cuña de vidrio (8575)

F_y_Q — 2025-12-06T04:19:32Z

Se dispone de dos láminas planas de vidrio, cuyo índice de refracción es $$$ \text{n}_\text{v} = 1.5$$$, de longitud L = 10 cm. Una de ellas se apoya sobre la otra, pero en un extremo se separa mediante un alambre delgado de diámetro «d», formando una cuña de aire de ángulo muy pequeño «$$$ \alpha$$$», como se muestra en la figura:

El índice de refracción del aire es $$$ \text{n}_\text{a} = 1.0$$$. Se ilumina el sistema desde arriba con luz incidente normal a las láminas.

Parte A:

Cuando se utiliza luz monocromática de longitud de onda $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$, se observa un patrón de interferencia formado por franjas brillantes y oscuras. A lo largo de toda la longitud «L» se cuentan exactamente 20 franjas brillantes. Calcula:

i) El ángulo «$$$ \alpha$$$» de la cuña de aire.

ii) El diámetro «d» del alambre.

Parte B:

Ahora se ilumina la cuña con luz blanca, el espectro visible recorre los valores de longitud de onda desde 400 nm a 700 nm. Describe cualitativamente qué se observa en:

iii) El extremo donde las láminas están en contacto, «x = 0».

iv) En una posición ubicada a «x = 2 cm» del borde de contacto.

Las interferencias en una lámina delgada, cuando la luz incide normalmente sobre una cuña de aire, los rayos reflejados en la superficie superior e inferior interfieren. La diferencia de camino óptico es $$$ \delta = 2\text{n}_\text{a}\cdot \text{t} + \frac{\lambda}{2}$$$, donde el término $$$ \frac{\lambda}{2}$$$ surge del cambio de fase $$$ \pi$$$ en la reflexión en la interfaz aire-vidrio inferior, porque la reflexión en la interfaz vidrio-aire superior no produce cambio de fase porque «$$$ \text{n}_\text{v}$$$» es mayor que «$$$ \text{n}_\text{a}$$$».

La interferencia será constructiva cuando $$$ \delta = \text{m}\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 1, 2, 3,...». La interferencia será destructiva cuando $$$ \delta = (\text{m} + \frac{1}{2})\cdot \lambda$$$, con valores de «m = 0, 1, 2,...».

El término «t» hace referencia al espesor de aire y está relacionado con la distancia «x» al vértice en el que se unen ambas láminas de vidrio y es función del ángulo: «$$$ \text{t}(x) = \alpha\cdot x$$$». En el extremo derecho. «$$$ \text{t(L)} = \text{d} = \alpha\cdot \text{L}$$$».

Parte A: Luz monocromática con $$$ \lambda = 600\ \text{nm}$$$.

i) Para calcular el ángulo de la cuña de aire debes comenzar por analizar la posición de las franjas brillantes. Para ello, tienes en cuenta la ecuación de las interferencias constructivas:

$$$ 2\text{t} + \dfrac{\lambda}{2} = \text{m}\cdot \lambda\ \to\ \color{forestgreen}{\bf 2t = \left( m - \dfrac{1}{2} \right) \lambda}$$$

Reescribes la ecuación anterior porque «t» depende del ángulo de la cuña, que es lo que quieres calcular:

$$$ 2\alpha\cdot x = \left(\text{m} - \dfrac{1}{2} \right) \lambda\ \to\ \ \color{forestgreen}{\bf{x_\text{m} = \dfrac{(\text{m} - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}}}, \quad \text{m} = 1, 2, 3, \dots$$$

La primera franja brillante se da cuando «m = 1», la segunda será para «m = 2» y así sucesivamente:

$$$ \color{royalblue}{\bf x_1 = \dfrac{\lambda}{4\alpha}}$$$
$$$ \color{royalblue}{\bf x_2 = \dfrac{3\lambda}{4\alpha}}$$$

El espaciado entre franjas brillantes consecutivas es constante:

$$$ \Delta x = x_{\text{m}+1} - x_\text{m}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Delta x = \dfrac{\lambda}{2\alpha}}$$$

Como son 20 las franjas brillantes a lo largo de la longitud «L», y si asumes que la primera franja brillante aparece cerca del borde en el que están en contacto las láminas y la última en el extremo opuesto, la franja número 20 corresponde a:

$$$ x_{20} = \text{L} = \dfrac{(20 - \dfrac{1}{2}) \lambda}{2\alpha}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf L = \dfrac{39 \lambda}{4\alpha}}$$$

Ahora puedes despejar el valor de «$$$ \alpha$$$» y calcularlo:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \dfrac{39\lambda}{4L}}}\ \to\ \alpha = \dfrac{39\cdot 600\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 0.1\ \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-5}\ \text{rad}}}$$$

ii) El cálculo del diámetro del alambre es inmediato si tienes en cuenta que cuando «x = L» se cumple que «t = d»:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{d = \alpha\cdot L}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.1\ \text{m} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.85\cdot 10^{-6}\ m}}$$$

Parte B: Luz blanca con $$$ 400\ \text{nm} \leq \lambda \leq 700\ \text{nm}$$$.

En este caso, cada una de las longitudes de onda interfiere según su propia condición, por lo que el patrón resultante será una superposición de franjas coloreadas.

iii) Donde las láminas están en contacto «t = 0». La diferencia de camino óptico es el mismo para todas las longitudes de onda $$$ (\delta = \frac{\lambda}{2})$$$, que coincide con las interferencias destructivas. Eso quiere decir que se observará una franja oscura en ese punto.

iv) Lo primero que debes hacer es calcular el espesor de aire que corresponde a la distancia «x = 2 cm» del extremo izquierdo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{t = \alpha\cdot x}} = 5.85\cdot 10^{-5}\cdot 0.02\ \text{m} = \color{royalblue}{\bf 1.17\cdot 10^{-6}\ m}$$$

La condición para interferencia constructiva es:

$$$ 2\text{t} = \left(\text{m} - \frac{1}{2} \right) \lambda, \quad (\text{Ec}.\ 1)$$$

Despejas el valor de «m» en la ecuación y obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda} + \dfrac{1}{2}}$$$

Si impones los límites de la longitud de onda en el espectro visible puedes calcular los órdenes «m» para los que estás dentro del visible:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 6.37\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} + \dfrac{1}{2} = 3.84\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 4}$$$

Si despejas el valor de la longitud de onda de la «Ec.1» obtienes:

$$$ \lambda = \dfrac{2\text{t}}{\text{m} - \frac{1}{2}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{4t}{2m - 1}}}, \quad m = 4, 5\ \text{y}\ 6$$$

Haces el cálculo para los valores de «m» del visible y obtienes las longitudes de onda:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{7} = 6.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 668\ \text{nm} \quad (rojo)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{9} = 5.20\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 520\ \text{nm} \quad (verde)}}$$$

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{4\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{11} = 4.25\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 425\ \text{nm} \quad (violeta)}}$$$

Para las interferencias destructivas puedes hacer una deducción análoga a la que has realizado para las interferencias constructivas. La condición de interferencia destructiva es:

$$$ 2\text{t} = \text{m}\cdot \lambda \quad (\text{Ec}.\ 2)$$$

Si despejas el valor de «m» obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m = \dfrac{2t}{\lambda}}$$$

Los valores de «m» para los extremos de longitud de onda para el visibles son:

$$$ \require{cancel} m_{400} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{4\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 5.85\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{400} = 6}$$$
$$$ \require{cancel} m_{700} = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{m}}}{7\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} = 3.34\ \to\ \color{royalblue}{\bf m_{700} = 3}$$$

Si despejas la longitud de onda de la «Ec. 2» obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{2t}{m}}$$$

Sustituyes los valores de «m» calculados en esta última ecuación:

$$$ (\text{m} = 3)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{3} = 7.8\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 780\ nm}$$$

Este valor está fuera del rango visible porque es un valor extremo. Puedes analizar qué pasa con el otro valor extremo:

$$$ (\text{m} = 6)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{6} = 3.9\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{royalblue}{\bf 390\ nm}$$$

También queda fuera del intervalo del espectro visible, aunque muy cerca del violeta. Los valores intermedios sí que deben coincidir con el rango del espectro visible:

$$$ (\text{m} = 4)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{4} = 5.85\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 585\ nm \quad (amarillo-naranja)}}$$$

$$$ (\text{m} = 5)\ \to\ \lambda = \dfrac{2\cdot 1.17\cdot 10^{-6}\ \text{m}}{5} = 4.68\cdot 10^{-7}\ \text{m} \equiv \color{firebrick}{\boxed{\bf 468\ nm \quad (azul)}}$$$

Como el espectro es continuo, en «x = 2 cm» se observará una mezcla de colores, con intensidades máximas (franjas brillantes) en tonos rojos, verdes y violetas, y mínimos (franjas oscuras) en tonos amarillo-naranja y azul. Este patrón de bandas de colores irisados es característico de la interferencia de luz blanca en películas delgadas.

Sistema óptico con dos lentes delgadas al que se acopla una lámina de caras paralelas (8442)

F_y_Q — 2025-04-15T07:21:21Z

Un sistema óptico consta de dos lentes delgadas: una lente convergente $$$ \text{L}_1$$$ con distancia focal $$$ \text{f}_1^{\prime} = 15\ \text{cm}$$$ y una lente divergente $$$ \text{L}_2$$$ con distancia focal $$$ \text{f}_2^{\prime} = -10\ \text{cm}$$$, separadas por una distancia d = 25 cm. Un objeto luminoso de altura y = 2 cm se coloca a una distancia $$$ \text{s}_1 = 30\ \text{cm}$$$ a la izquierda de $$$ \text{L}_1$$$.

a) Determina la posición y el tamaño de la imagen formada por el sistema.

b) Calcula el aumento lateral total del sistema.

c) Si ahora se coloca una lámina de caras paralelas de espesor t = 5 cm e índice de refracción n = 1.5 entre $$$ \text{L}_1$$$ y $$$ \text{L}_2$$$, ¿cómo afecta esto a la posición final de la imagen?

d) Analiza la estabilidad del sistema si $$$ \text{L}_2$$$ se desplaza ligeramente hacia $$$ \text{L}_1$$$.

a) Para calcular la imagen que se forma tras aplicas la ecuación de las lentes delgadas:

La imagen intermedia se forma 30 cm a la derecha de y es real.

El aumento lateral que produce la primera lente es:

La imagen es del mismo tamaño, pero invertida, es decir:

Como la distancia entre y es de 25 cm, y la imagen intermedia está 30 cm a la derecha de , la posición con respecto a es:

Es decir, el objeto se sitúa 5 cm a la derecha de la segunda lente, por lo que será tomado con signo positivo y se considera real. Si aplicas la ecuación de lentes para :

La imagen final se forma a 10 cm a la derecha de la segunda lente y es real.

El aumento lateral de la segunda lente:

La imagen es del doble de tamaño y sigue siendo invertida. El tamaño de la imagen formada por el sistema es:

La imagen final es invertida y dos veces más grande que el tamaño del objeto.

b) El aumento lateral total del sistema es:

c) Al colocar la lámina entre las dos lentes se produce un desplazamiento lateral () que puedes calcular con esta ecuación de relaciona ese desplazamiento con el espesor de la lámina y el índice de refracción del material con el que está hecha:

Sustituyes y calculas el desplazamiento lateral:

La imagen después de la primera lente está ahora 6.67 cm a la derecha de la segunda lente. Debes repetir el cálculo para la segunda lente y averiguar cuál es la posición de la imagen final:

La imagen final se forma 20 cm a la derecha de la segunda lente, es decir, más lejos que antes.

d) Si la segunda lente se acerca a la primera, disminuye el valor de «d» y se hace mayor el valor de «». Como la segunda lente es divergente, ese mayor alejamiento provoca que la imagen que forma sea más cercana a su foco imagen, por lo que «» disminuye. La conclusión es que el sistema sigue siendo estable, pero la imagen final se acerca a la segunda lente.

Posición y tamaño de la imagen de un objeto en un sistema de lentes (8411)

F_y_Q — 2025-03-09T05:32:45Z

Un objeto luminoso de 2 cm de altura se coloca a 30 cm de una lente convergente de distancia focal 15 cm. A continuación, se coloca una lente divergente de distancia focal -10 cm a 40 cm de la primera lente. Calcula:

a) La posición y tamaño de la imagen formada por el sistema de lentes.

b) Indica si la imagen final es real o virtual, y derecha o invertida.

a) Para la primera lente, tienes como datos y , es un objeto real y situado a la izquierda de la lente. Si usas la ecuación de las lentes:

Es una imagen real que está a la derecha de la primera lente. El tamaño lo calculas con la fórmula del aumento lateral:

La imagen es invertida y menor que el objeto.

Para la segunda lente debes considerar la imagen como si fuera un nuevo objeto, pero tienes que calcular la distancia a la que está de la segunda lente:

Se encuentra a la izquierda de la segunda lente y la distancia focal de la segunda lente es . Vuelves a aplicar la ecuación de las lentes delgadas:

Es una imagen virtual, a la izquierda de la segunda lente.

Para determinar el tamaño vuelves a usar la ecuación del aumento lateral:

La imagen final se forma a 7.5 cm a la izquierda de la segunda lente y con un tamaño de 0.167 cm.

b) La imagen es virtual y derecha.

Polarización sucesiva de un haz de luz con tres polarizadores (7403)

F_y_Q — 2021-11-25T09:52:06Z

Tres filtros polarizadores tienen el mismo eje óptico en común a lo largo del eje Z. El primer filtro polarizador tiene su eje de polarización paralelo al eje Y. Para el segundo filtro, su eje de polarización forma un ángulo de con el eje X. Para el tercer filtro su eje de polarización es paralelo al eje X. Si un haz de luz no polarizada, con intensidad de , viaja a lo largo del eje Z y pasa a través de los tres filtros polarizadores. Calcula la intensidad del haz de luz después de pasar por cada uno de los polarizadores. ¿Qué efecto tiene el primer polarizador sobre el haz de luz?

Si clicas en las miniaturas podrás ver los esquemas con más detalle.

El primer polarizador, como la fuente de luz es no polarizada, tiene como efecto reducir la intensidad de la radiación a la mitad y dejar pasar solo un haz que es paralelo al eje de polarización (pintado en verde), es decir, al eje Y (pintado de azul):

El haz que atraviesa el primer polarizador llega al segundo y, según el enunciado, forma un ángulo de con el eje X:

Para calcular la intensidad del haz debes usar la ley de Malus:

El ángulo entre el haz resultante del primer polarizador y el eje del segundo es :

En el esquema puedes ver que el eje del tercer polarizador y el haz es de :

Vuelves a aplicar la ley de Malus para el tercer polarizador: