EjerciciosFyQ

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque C - cuestión b2 (8650)

F_y_Q — 2026-06-19T12:18:46Z

La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación:

$$$ \text{y(x,t)} = 0.01\cdot \text{sen}(10\pi x)\cdot \text{cos}(200\pi t)\quad (\text{S.I})$$$

i) Indica qué tipo de onda es. ii) Calcula la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. iii) Determina la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situada en el punto x = 10 cm. Razona la respuesta.

i) Si analizas la ecuación de la onda del enunciado puedes ver que las variables «posición» (x) y «tiempo» (t) aparecen desacopladas, es decir, están en funciones trigonométricas distintas. Esto quiere decir que la onda no «viaja» o se desplaza en una dirección, sino que se trata de una onda cuyos puntos vibran con una amplitud constante que es función solo de la posición (x). Es lo que llamamos una onda estacionaria

ii) La ecuación general de una onda estacionaria formada por la interferencia de dos ondas viajeras que se propagan en sentidos opuestos es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf y(x,t) = 2A\cdot sen(kx)\cdot cos(\omega t)}$$$

Si comparas la ecuación de la onda del enunciado con la ecuación general obtienes el valor de la amplitud de manera inmediata:

$$$ 2\text{A} = 0.01 \implies \color{firebrick}{\boxed{\bf A = 5\cdot 10^{-3}\ m}}$$$

También puedes obtener los valores del número de onda y la frecuencia angular:

$$$ \color{royalblue}{\bf k = 10\pi\ rad\cdot m^{-1}}$$$
$$$ \color{royalblue}{\bf \omega = 200\pi\ rad\cdot s^{-1}}$$$

La velocidad de propagación de las ondas originales es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{v = \dfrac{\omega}{k}}} = \dfrac{200\pi\ \cancel{\text{rad}}\cdot \text{s}^{-1}}{10\pi\ \cancel{\text{rad}}\cdot \text{m}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 20\ m\cdot s^{-1}}}$$$

iii) La ecuación de la velocidad de oscilación de cualquier punto de la cuerda es la derivada parcial de la posición respecto al tiempo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t}}} = 0.01\cdot \text{sen}\ (10\pi x)\cdot \Big[-200\pi\cdot \text{sen}\ (200\pi t)\Big] = \color{royalblue}{\bf -2\pi\cdot sen\ (10\pi x)\cdot sen\ (200\pi t)}$$$

Sustituyes el valor de «x» en la ecuación de la velocidad, pero expresado en metros porque la ecuación está en unidades SI:

$$$ \require{cancel} \text{v(x,t)} = -2\pi\cdot \text{sen}\ (10\pi\cdot 0.1)\cdot \text{sen}\ (200\pi t) = -2\pi\cdot \cancelto{0}{\text{sen}\ \pi}\cdot \text{sen}\ (200\pi t)\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v(x,t) = 0}}$$$

El punto que está en la posición «x = 0.1 m» es un nodo en la onda estacionaria. Su amplitud de oscilación es nula porque lo es su velocidad de oscilación, es decir, permanece inmóvil en todo momento.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque C - cuestión b1 (8649)

F_y_Q — 2026-06-13T17:06:55Z

Se quiere proyectar un objeto de 0.2 milímetros de altura con una lente convergente en una pantalla. Se coloca la pantalla a 28 cm a la derecha del objeto. Entre el objeto y la pantalla, a 3.8 cm del objeto, se coloca la lente convergente. Realiza un esquema y determina razonadamente, indicando el criterio de signos utilizado: i) la distancia focal de la lente necesaria para que la imagen del objeto se enfoque sobre la pantalla; ii) el tamaño de la imagen formada sobre la pantalla.

El esquema del problema es:

El criterio de signos que se sigue en el desarrollo del ejercicio es el DIN:
1. El centro óptico de la lente se sitúa en el origen de coordenadas «O(0,0)».
2. La luz viaja de izquierda a derecha.
3. Las distancias a la derecha de la lente son positivas ($$$ \text{s}^{\prime} \gt 0$$$) y a la izquierda son negativas ($$$ \text{s} \lt 0$$$).
4. Las alturas por encima del eje óptico son positivas ($$$ \text{y} \gt 0$$$) y por debajo son negativas ($$$ \text{y}^{\prime} \lt 0$$$).

Según el criterio DIN seguido, los datos del problema son:

Altura del objeto: $$$ \color{royalblue}{\bf y = 0.02\ cm}$$$
Distancia entre objeto-pantalla: $$$ \color{royalblue}{\bf d = 28\ cm}$$$
Posición del objeto: $$$ \color{royalblue}{\bf s = -3.8\ cm}$$$
Posición de la imagen (en la pantalla): $$$ \text{s}^{\prime} = (28 - 3.8)\ \text{cm}\ \to\ \color{royalblue}{\bf s^{\prime} = 24.2\ cm}$$$

i) La distancia focal la calculas a partir de la ecuación fundamental de las lentes delgadas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{1}{s^{\prime}} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f^{\prime}}}$$$

Solo tienes que sustituir en la ecuación y calcular:

$$$ \dfrac{1}{\text{f}^{\prime}} = \dfrac{1}{24.2\ \text{cm}} - \dfrac{1}{-3.8\ \text{cm}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf f^{\prime} = 3.28\ cm}}$$$

El valor positivo de la distancia focal es coherente con el que la lente del problema sea convergente porque se forma a la derecha de la lente.

ii) Para calcular el tamaño de la imagen necesitas la ecuación del aumento lateral:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A_L = \dfrac{y^{\prime}}{y} = \dfrac{s^{\prime}}{s}}$$$

Despejas el valor del tamaño de la imagen, sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{y^{\prime} = y\cdot \left(\dfrac{s^{\prime}}{s}\right)}} = 0.02\ \text{cm}\cdot \left(\dfrac{24.2\ \cancel{\text{cm}}}{-3.8\ \cancel{\text{cm}}}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf - 0.127\ cm}}$$$

La imagen es mayor que el objeto y el signo negativo indica que la imagen obtenida está invertida.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque C - cuestión a2 (8647)

F_y_Q — 2026-06-12T03:57:03Z

Una onda armónica pasa de un medio a otro. La longitud de onda en el segundo medio es la mitad del primero. Obtén, de forma justificada, la relación entre: i) las velocidades de propagación de la onda en ambos medios; ii) la velocidad máxima de oscilación en ambos medios, si no cambia la amplitud.

El enunciado indica que una onda armónica pasa de un medio a otro y que la longitud de onda en el segundo medio es la mitad que en el primero. Dado que la frecuencia de la onda no varía, porque solo depende del foco emisor de la onda y no del medio, puedes tener en cuenta la relación que existe entre la velocidad de propagación de una onda y la longitud de onda y la frecuencia:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v = \lambda\cdot \nu}$$$

i) La relación entre las velocidades de propagación es:

$$$ \require{cancel} \left. \begin{aligned} &\color{forestgreen}{\bf v_1 = \lambda_1\cdot \nu} \\ &\color{forestgreen}{\bf v_2 = \lambda_2\cdot \nu} \end{aligned} \right \}\ \xrightarrow{\lambda_1 = 2\lambda_2}\ \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{2\cdot \cancel{\lambda_2}\cdot \cancel{\nu}}{\cancel{\lambda_2}\cdot \cancel{\nu}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_1 = 2v_2}}$$$

La velocidad de propagación de la onda en el primer medio es el doble que la velocidad de propagación que tiene en el segundo medio.

ii) La velocidad de oscilación se refiere al movimiento armónico simple que realizan las partículas del medio al ser perturbadas. La velocidad máxima de vibración de una partícula viene dada por la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v_{\text{máx}} = \omega\cdot A}$$$

En esa ecuación, «$$$ \omega$$$» es la frecuencia angular de la onda y «A» es la amplitud. La frecuencia angular se define como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \omega = 2\pi\cdot f}$$$

La frecuencia sigue siendo constante y la amplitud, porque así lo dice el enunciado, también es constante. Las velocidades máximas de oscilación en ambos miembros son:

$$$ \left. \begin{aligned} &\color{forestgreen}{\bf v_{\text{máx}}(1) = \omega_1\cdot A} \\ &\color{forestgreen}{\bf v_{\text{máx}}(2) = \omega_2\cdot A} \end{aligned} \right \}\ \xrightarrow{\omega_1 = \omega_2}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_{\text{máx}}(1) = v_{\text{máx}}(2)}}$$$

La velocidad máxima de oscilación de las partículas es la misma en ambos medios.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque C - cuestión a1 (8646)

F_y_Q — 2026-06-09T13:37:32Z

Se sitúa un objeto luminoso delante de una lente divergente. Dibuja el trazado de rayos e indica razonadamente las características de la imagen obtenida.

Las propiedades ópticas de las lentes divergentes provocan que el foco imagen quede a la izquierda de la lente, mientras que el foco objeto quede a la derecha.

Para determinar la posición y el tamaño de la imagen, basta con trazar dos rayos principales desde la parte superior del objeto:

1. Un rayo paralelo al eje óptico. Ese rayo incide en la lente, se refracta y se abre, diverge, de modo que tienes que hacer su prolongación hacia atrás buscando el foco imagen.
2. Un rayo que se dirige directamente hacia el centro óptico de la lente. Este rayo se refracta sin sufrir desviación alguna y sigue una trayectoria rectilínea.

Como puedes ver en la imagen, la intersección entre la prolongación del rayo paralelo y el rayo hacia el vértice óptico indica la posición de la parte superior de la imagen. Las características de la imagen resultante en una lente divergente son siempre las mismas, sin importar la distancia a la que se coloque el objeto:

Imagen virtual: Se forma mediante a partir de la intersección de las prolongaciones de los rayos refractados y no por los rayos reales.
Derecha: Presenta la misma orientación vertical que el objeto original.
Menor: El tamaño de la imagen resultante es siempre inferior al del objeto real.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión b2 (8644)

F_y_Q — 2026-06-08T04:00:18Z

Un electrón se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de $$$ 10^7\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$ hacia una carga puntual de $$$ -5\ \mu \text{C}$$$ que permanece fija. i) Determina la distancia a la carga puntual en la que se anula la velocidad del electrón. ii) Calcula el módulo y carácter (atractiva o repulsiva) de la fuerza a esa distancia.

Datos: $$$ \text{K} = 9\cdot 10^9\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{C}^{-2}$$$; $$$ \text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{m}_\text{e} = 9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$$$

i) Como el campo eléctrico es conservativo puedes aplicar el principio de conservación de la energía mecánica:

$$$ \text{E}_\text{M}(i) = \text{E}_\text{M}(f)\ \to\ \color{forestgreen}{\bf E_c(i) + E_p(i) = E_c(f) + E_p(f)}$$$

En el estado inicial, la energía potencial electrostática es nula porque consideramos que la carga está en el infinito, mientras que la energía cinética es función de la velocidad inicial. En el estado final tiene que ser nula la energía cinética, porque le pones la condición de que se detenga la partícula, y la energía potencial será función de la distancia a la que suceda esa condición. La ecuación anterior queda como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \dfrac{m_e}{2}\cdot v_i^2 = K\cdot \dfrac{q\cdot e}{d_f}}$$$

Despejas la distancia final y calculas su valor:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{d_f = \dfrac{2\cdot K\cdot q\cdot e}{m_e\cdot v_i^2}}} = \dfrac{2\cdot 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\cdot (-5\cdot 10^{-6})\ \cancel{\text{C}}\cdot (-1.6\cdot 10^{-19})\ \cancel{\text{C}}}{9.1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}\cdot (10^7)^2\ \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{s}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 158.2\ m}}$$$

ii) Para calcular la fuerza electrostática a la distancia anterior, aplicas la ley de Coulomb. Al ser cargas del mismo signo, el valor de la fuerza será positivo, es decir, será una fuerza de repulsión cuyo módulo es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{F = K\cdot \dfrac{q\cdot e}{d_f^2}}} = 9\cdot 10^9\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\cancel{\text{C}^2}}\cdot \dfrac{5\cdot 10^{-6}\ \cancel{\text{C}}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{C}}}{158.2^2 \ \cancel{\text{m}^2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.88\cdot 10^{-19}\ N}}$$$

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión b1 (8643)

F_y_Q — 2026-06-07T04:34:23Z

En un parque eólico del estrecho de Gibraltar, un aerogenerador posee una espira circular de área $$$ 40\ \text{cm}^2$$$ que gira a 1 500 rpm alrededor de un eje que pasa por su diámetro y es perpendicular a un campo magnético uniforme de módulo 0.25 T. La espira tiene una resistencia de 10 Ω. Considera que en t = 0 s el flujo es máximo. i) Determina el flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcula la fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducida en la espira en función del tiempo. ¿La corriente en la espira es continua o alterna?

Una buena manera de empezar el problema es extrayendo los datos del enunciado, ordenándolos y expresándolos en unidades SI:

- Área de la espira:
$$$ \require{cancel} 40\ \cancel{\text{cm}^2}\cdot \dfrac{1\ \text{m}^2}{10^4\ \cancel{\text{cm}^2}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf A = 4\cdot 10^{-3}\ m^2}$$$
- Velocidad de rotación:
$$$ \require{cancel} 1\ 500\ \dfrac{\cancel{\text{rev}}}{\cancel{\text{min}}}\cdot \dfrac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \cancel{\text{rev}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{min}}}{60\ \text{s}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \omega = 50\pi\ rad\cdot s^{-1}}$$$
- Campo magnético: $$$ \color{royalblue}{\bf B = 0.25\ T}$$$
- Resistencia de la espira: $$$ \color{royalblue}{\bf R = 10\ \Omega}$$$

i) El flujo magnético que atraviesa una espira que gira en un campo magnético uniforme es:

$$$ \Phi(\text{t}) = \text{B}\cdot \text{A}\cdot \text{cos}\ (\omega\cdot \text{t} + \theta_0)$$$

El enunciado indica que el flujo es máximo cuando «t = 0», por lo que el ángulo inicial debe ser nulo ya que «cos 0 = 1». La ecuación anterior, para nuestro problema, es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = B\cdot A\cdot cos\ (\omega\cdot t)}$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \Phi(t) = 0.25\ \text{T}\cdot 4\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2\cdot \text{cos}\ (50\pi\cdot t) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 10^{-3}\cdot cos\ (50\pi \cdot t)\ Wb}}$$$

ii) Para calcular la fuerza electromotriz inducida aplicas la ley de Faraday-Lenz, que define la «fem» inducida es la derivada del flujo magnético respecto al tiempo, cambiada de signo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(t) = -\dfrac{d\Phi(t)}{dt}}$$$

Si haces la derivada de la ecuación que has obtenido en el apartado i):

$$$ \varepsilon(\text{t}) = -\dfrac{\text{d}}{\text{dt}}\left[10^{-3}\cdot \text{cos}\ (50\pi\cdot \text{t})\right]\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon(t) = 0.05\pi\cdot sen\ (50\pi\cdot t)}$$$

Si lo quieres expresar numéricamente:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \varepsilon(t) = 0.157\cdot sen\ (50\pi\cdot t) \quad (V)}}$$$

La intensidad de corriente inducida la obtienes a partir de la ley de Ohm, que la relaciona con la «fem» y la resistencia de la espira:

$$$ \color{forestgreen}{\bf I(t) = \dfrac{\varepsilon(t)}{R}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \text{I(t)} = \dfrac{0.05\pi\cdot \text{sen}\ (50\pi\cdot \text{t})\ \text{V}}{10\ \Omega}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf I(t) = 1.57\cdot 10^{-2}\cdot sen\ (50\pi\cdot t) \quad A}}$$$

La corriente que se genera es alterna. Tanto la «fem» como la intensidad de la corriente dependen de una función armónica, por lo que sus valores cambian de magnitud de forma sinusoidal y cambian de sentido periódicamente con el tiempo.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión a2 (8642)

F_y_Q — 2026-06-06T07:57:51Z

Dos partículas idénticas, de carga «q» y masa «m», están separadas una distancia «d». Se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje por acción de la fuerza electrostática hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) Determina la expresión del módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) Indica como cambiaría el módulo de la velocidad si se duplicase el valor de las cargas.

La resolución de este problema se basa en el principio de conservación de la energía mecánica, donde tendrás en cuenta las energías cinética y potencial electrostática.

i) La energía mecánica se conserva porque la fuerza electrostática es una fuerza conservativa, por lo que la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica final:

$$$ \text{E}_\text{M}(\text{i}) = \text{E}_\text{M}(\text{f}) \implies \color{forestgreen}{\bf E_c(i) + U(i) = E_c(f) + U(f)}$$$

Puedes reescribir la ecuación anterior si tienes en cuenta que, al inicio, la partícula está en reposo y a una distancia «d» de la partícula que permanece en reposo, mientras que al final tiene una velocidad no nula y la distancia es el doble:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \cancelto{0}{\text{v}_\text{i}^2} + \text{K}\cdot \dfrac{\text{q}^2}{\text{d}} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{f}^2 + \text{K}\cdot \dfrac{\text{q}^2}{2\text{d}}\ \to\ \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{f}^2 = \text{K}\left(\dfrac{\text{q}^2}{\text{d}} - \dfrac{\text{q}^2}{2\text{d}}\right)$$$

Si despejas la velocidad final de la ecuación anterior:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf v_f = \sqrt{\dfrac{K\cdot q^2}{m\cdot d}}}}$$$

ii) Si reescribes la expresión que has obtenido antes para ver más clara la dependencia de la velocidad con el valor de las cargas, obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v_f = \lvert q\rvert \cdot \sqrt{\dfrac{K}{m\cdot d}}}$$$

Si las cargas se hacen el doble, en la ecuación tendrías:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v^{\prime}_f = \lvert 2q\rvert\cdot \sqrt{\dfrac{K}{m\cdot d}}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2\cdot v_f}}$$$

Es decir, el módulo de la velocidad se duplicaría, ya que la velocidad es directamente proporcional al valor de la carga.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN VÍDEO.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque B - cuestión a1 (8641)

F_y_Q — 2026-06-05T03:25:26Z

Indica, razonando las respuestas, si los siguientes enunciados son ciertos: i) si el flujo magnético a través de una superficie es cero, entonces necesariamente el campo magnético es nulo; ii) la fuerza electromotriz inducida será no nula si el flujo es no nulo.

i) Este enunciado es falso. El flujo magnético a través de una superficie «S» se define como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Phi_B = \displaystyle \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A}}$$$

Donde $$$ \vec{\text{B}}$$$ es el campo magnético y $$$ \text{d}\vec{\text{A}}$$$ es el vector diferencial de superficie perpendicular a la misma.

Para que el flujo sea nulo pueden ocurrir dos cosas: que el campo sea cero o que el número neto de líneas de campo que atraviesan la superficie sea cero. Esto puede ocurrir si el número de líneas de campo que entran el igual al número de las que salen de la superficie o si el campo el perpendicular al vector diferencial de superficie en todos los puntos, es decir, que el campo magnético es tangente a la superficie.

Un ejemplo de esto puede ser una bobina plana situada paralela a un campo magnético uniforme. El flujo es cero porque $$$ \vec{\text{B}} \perp \text{d}\vec{\text{A}}$$$ y el coseno de 90º es cero, aunque el campo magnético sea distinto de cero.

ii) Este enunciado también es falso. Según la ley de Faraday, la «fem» inducida es igual a la variación del flujo magnético con el tiempo:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \varepsilon = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}}$$$

Esta «fem» inducida se debe a que el flujo varíe con el tiempo y no a que sea cero en un instante dado. Un valor constante, distinto de cero, del flujo magnético da lugar a una fuerza electromotriz inducida nula porque la derivada de una constante es cero.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN VÍDEO.

PAU Andalucía: física (junio 2026) - bloque A - cuestiones a y b (8640)

F_y_Q — 2026-06-04T05:21:22Z

a) Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) para que la energía mecánica se conserve es necesario que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea nula; ii) la energía mecánica se conserva cuando sobre un cuerpo actúan solo fuerzas conservativas.

b) Un niño de 15 kg resbala desde el reposo a lo largo de un tobogán de 2 m de altura cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 30º. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.25: i) realiza un esquema con las fuerzas que actúan sobre el niño y determina el trabajo de la fuerza de rozamiento. ii) Calcula la energía cinética del niño al final del tobogán y la velocidad con la que llega. Responde razonadamente.

$$$ \text{g} = 9.8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$$$

a) Tienes que razonar, argumentando en la teoría que conoces, si las afirmaciones son verdaderas o no.

i) Se trata de una afirmación que es falsa. La condición para que la energía mecánica de un sistema se conserve es que no haya trabajo no conservativo, es decir, que el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas del sistema sea igual a cero. Un ejemplo de sistema físico en el que se conserva la energía mecánica y la resultante de las fuerzas no es nula es un cuerpo en caída libre, si se desprecian los rozamientos. El cuerpo cae por acción de una fuerza neta, el peso del cuerpo, y, al ser una fuerza conservativa, no se degrada energía y se conserva la energía mecánica.

ii) Se trata de una afirmación que es verdadera. El teorema de la conservación de la energía cinética indica que el trabajo realizado sobre un sistema es igual a la variación de su energía cinética. Si solo hay fuerzas conservativas en el sistema:

$$$ \Delta \text{E}_\text{c} = \text{W}_\text{T}$$$

Si solo actúan fuerzas conservativas:

$$$ \text{W}_\text{T} = \text{W}_\text{c}$$$

Por otro lado, el trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la disminución de la energía potencial:

$$$ \Delta \text{E}_\text{p} = -\text{W}_\text{c}$$$

Al igualar las expresiones de la energía cinética y potencial obtienes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\Delta E_c = -\Delta E_p \implies \Delta E_c + \Delta E_p = 0}} \implies \color{firebrick}{\boxed{\bf \Delta E_m = 0}}$$$

b) Se trata de un problema de dinámica clásico en el que debes realizar un correcto diagrama del cuerpo libre y calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento y cómo varía la energía mecánica del sistema.

i) El diagrama del cuerpo libre puede ser algo como este esquema:

Cuando desliza por el tobogán, sobre el niño actúan tres fuerzas principales:
1. El peso (negro). Debes descomponer esta fuerza en dos componentes: una paralela a la superficie del tobogán y otra perpendicular a esa superficie (azul). Los valores de las componentes son:

$$$ \color{royalblue}{\bf P_x = m\cdot g\cdot sen\ 30^o}$$$
$$$ \color{foresgreen}{\bf P_y = m\cdot g\cdot cos\ 30^o}$$$

2. La normal (violeta). Es la fuerza de reacción de la componente «y» del peso. Tiene el mismo valor y dirección que ella, aunque sentido contrario.

3. La fuerza de rozamiento (rojo). Es paralela a la superficie del tobogán y siempre se opone al movimiento, por eso apunta hacia arriba. Su valor es:

$$$ \text{F}_\text{R} = \mu\cdot \text{N}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf F_R = \mu\cdot m\cdot g\cdot cos\ 30^o}$$$

Para poder calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento necesitas conocer la longitud del tobogán. La puedes escribir en función de la altura del mismo y el ángulo de inclinación:

$$$ \text{sen}\ 30^o = \dfrac{\text{h}}{\text{d}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf d = \dfrac{h}{sen\ 30^o}}$$$

El trabajo de rozamiento es:

$$$ \text{W}_\text{R} = \vec{\text{F}}_\text{R}\cdot \vec{\text{d}} = \text{F}_\text{R}\cdot \text{d}\cdot cos\ 180^o\ \to\ \color{forestgreen}{\bf W_R = - \mu\cdot m\cdot g\cdot h\cdot ctg\ 30^o}$$$

Solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \text{W}_\text{R} = - 0.25\cdot 15\ \text{kg}\cdot 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 2\ \text{m}\cdot \text{ctg}\ 30^o = \color{firebrick}{\boxed{\bf - 127.3\ J}}$$$

ii) Este apartado se resuelve muy fácil si aplicas el teorema de la conservación de la energía mecánica. La variación de la energía mecánica del sistema tiene que ser igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, que es la fuerza de rozamiento en este caso:

$$$ \Delta \text{E}_\text{m} = \text{W}_{\text{F}_\text{R}} \implies \color{forestgreen}{\bf E_m(f) - E_m(i) = W_{F_R}}$$$

Como el niño parte del reposo, desde la altura del tobogán, su energía mecánica inicial tiene solo componente potencial gravitatoria. Al llegar a la parte baja del tobogán su energía mecánica solo tiene componente cinética, por lo que puedes reescribir la ecuación anterior, despejando el valor de la energía cinética, como:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E_c(f) = E_p(i) + W_{F_R}}$$$

El cálculo de la energía cinética del niño al final del tobogán es inmediato:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{E_c(f) = m\cdot g\cdot h + W_{F_R}}} = 15\ \text{kg}\cdot 9.8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 2\ \text{m} - 127.3\ \text{J} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 166.7\ J}}$$$

La velocidad final la obtienes despejando de la ecuación de la energía cinética que acabas de calcular:

$$$ \text{E}_\text{c} = \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \text{E}_\text{c} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 166.7\ J}{15\ kg}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.71\ m\cdot s^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

Desintegración del polonio-210: actividad radiactiva y energía liberada (8638)

F_y_Q — 2026-05-30T04:52:49Z

El polonio‑210 ($$$ {}^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}$$$) es un emisor alfa que se desintegra a plomo‑206 ($$$ {}^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb}$$$). Su periodo de semidesintegración es de 138.4 días.

a) Escribe la ecuación de la desintegración y calcula la energía liberada en cada desintegración, expresada en MeV y en julios.

b) Se dispone de una muestra de 1.00 mg de $$$ {}^{210}\mathrm{Po}$$$ puro. Determina: i) la actividad inicial de la muestra en Bq; ii) la energía total liberada por la muestra al cabo de 276.8 días, suponiendo que se aprovecha toda la energía de las desintegraciones. Expresa el resultado en julios.

Datos: $$$ \text{m}(^{210}\text{Po}) = 209.9829\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{206}\text{Pb}) = 205.9745\ \text{u}$$$; $$$ \text{m}(^{4}\text{He}) = 4.0026\ \text{u}$$$; $$$ 1\ \text{u} = 1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{q}_\text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$.

a) La ecuación de desintegración alfa del polonio‑210 debe cumplir que se conserve la masa y el total de protones en el proceso:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf ^{210}_{\phantom{0}84}\mathrm{Po}\ \to\ ^{206}_{\phantom{0}82}\mathrm{Pb} + ^{4}_{2}\mathrm{He}}}$$$

La energía liberada por cada núcleo desintegrado está relacionada con el defecto de masa entre los productos y el reactivo. Primero calculas el defecto de masa:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \Delta m = m(^{210}\mathrm{Po}) - \left[m(^{206}\mathrm{Pb}) + m(^{4}\mathrm{He})\right]}$$$

Sustituyes los valores dados en el enunciado y calculas:

$$$ \Delta \text{m} = 209.9829\ \text{u} - (205.9745 + 4.0026)\ \text{u} = \color{royalblue}{\bf 5.58\cdot 10^{-3}\ u}$$$

La energía que libera cada núcleo desintegrado es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E = \Delta m\cdot c^2}$$$

Solo tienes que sustituir y calcular, pero ten cuidado con las unidades:

$$$ \require{cancel} 5.58\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{u}}\cdot \dfrac{1.6605\cdot 10^{-27}\ \text{kg}}{1\ \cancel{\text{u}}}\cdot \left(3\cdot 10^8\right)^2\ \text{m}^2\cdot \text{s}^{-2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.34\cdot 10^{-13}\ J}}$$$

Para hacer la conversión a MeV necesitas dos factores de conversión:

$$$ \require{cancel} 8.34\cdot 10^{-13}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{eV}}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}}\cdot \dfrac{1\ \text{MeV}}{10^6\ \cancel{\text{eV}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.21\ MeV}}$$$

b) La actividad inicial está relacionada con la constante de desintegración y el número inicial de núcleos siguiendo la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A_0 = \lambda\cdot N_0}$$$

i) Necesitas calcular la constante de desintegración y lo puedes hacer a partir del periodo de semidesintegración:

$$$ \color{forestgreen}{\bf}\lambda = \dfrac{\text{ln} 2}{T_{\frac{1}{2}}}$$$

Para hacer el cálculo necesitas expresar el periodo en segundos:

$$$ \require{cancel} 138.4\ \cancel{\text{días}}\cdot \dfrac{24\ \cancel{\text{h}}}{1\ \cancel{\text{día}}}\cdot \dfrac{3.6\cdot 10^3\ \text{s}}{1\ \cancel{\text{h}}} = \color{royalblue}{\bf 1.2\cdot 10^{7}\ s}$$$

Sustituyes y calculas la constante de desintegración:

$$$ \lambda = \dfrac{\text{ln}\ 2}{1.2\cdot 10^7\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 5.78\cdot 10^{-8}\ s^{-1}}$$$

El número inicial de núcleos lo calculas a partir de la masa de muestra y la masa atómica del elemento:

$$$ \require{cancel} 1\ \cancel{\text{mg}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{g}}}{10^3\ \cancel{\text{mg}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{209.9829\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 2.868\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

La actividad inicial que necesitas calcular es:

$$$ \text{A}_0 = 5.78\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \text{núcleos} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.66\cdot 10^{11}\ Bq}}$$$

ii) En el apartado a) has calculado la energía liberada por cada núcleo desintegrado, por lo que, si calculas los núcleos que se han desintegrado en los 276.8 días, puedes saber la energía total liberada. Observa que el tiempo que tienes que considerar es justo el doble que el tiempo de semidesintegración. Eso quiere decir que, tras dos semividas, la fracción de núcleos que queda sin desintegrarse es $$$ \frac{1}{4}$$$ del número inicial de núcleos. Esto quiere decir que se habrán desintegrado las tres cuartas partes de los núcleos iniciales y la energía total asociada es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{E_T = E\cdot N_{desint}}} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot 2.868\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$

Otra forma de hacer este cálculo sería teniendo en cuenta la ecuación que relaciona el número de núcleos que quedan tras un tiempo determinado:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}$$$

Para determinar los núcleos que se han desintegrado tendrías que hacer la diferencia entre los iniciales y los que resultan tras el tiempo que estás considerando, por lo que la ecuación que tienes que aplicar es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf N_{desint} = N_0\left(1 - e^{-\lambda\cdot t}\right)}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{N}_{\text{desint}} = 2.868\cdot 10^{-18}\ \text{núcleos}\left(1 - \text{e}^{-5.78\cdot 10^{-8}\ \cancel{\text{s}^{-1}}\cdot 2.4\cdot 10^7\ \cancel{\text{s}}}\right) = \color{royalblue}{\bf 2.1516\cdot 10^{18}\ núcleos}$$$

El último paso es multiplicar la energía asociada a la desintegración de cada núcleo por los núcleos desintegrados:

$$$ \require{cancel} \text{E}_\text{T} = 8.34\cdot 10^{-13}\ \dfrac{\text{J}}{\cancel{\text{núcleo}}}\cdot 2.1516\cdot 10^{18}\ \cancel{\text{núcleos}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.79\cdot 10^6\ J}}$$$