EjerciciosFyQ

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 4B (8713)

F_y_Q — 2026-09-16T13:44:59Z

En el primer paso del proceso de desintegración, cada núcleo del isótopo $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ se transmuta en un núcleo del isótopo $$$ ^{228}\text{Ac}$$$ y se emite una partícula $$$ β^-$$$. Si se tiene una muestra de 30 g de $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ cuya actividad inicial es de $$$ 3.03\cdot 10^{14}\ \text{Bq}$$$, determina:

a) El número de partículas $$$ β^{-}$$$ por segundo que emite inicialmente la muestra de $$$ ^{228}\text{Ra}$$$.

b) La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración.

c) La masa del isótopo $$$ ^{228}\text{Ra}$$$ que se habrá transformado en $$$ ^{228}\text{Ac}$$$ cuando hayan transcurrido 10 años.

Datos: $$$ \text{N}_\text{A} = 6.02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{M}(^{228}\text{Ra}) =228\ \text{u}$$$.

a) El proceso de desintegración nuclear es descrito mediante la ecuación:

$$$ ^{228}_{88}\text{Ra}\ \longrightarrow\ ^{228}_{89}\text{Ac} + \beta^{-} + \bar{\nu}_\text{e}$$$

El núcleo de radio contiene un exceso de neutrones y transforma uno de ellos en un protón y un antineutrino, emitiendo un electrón:

$$$ \text{n}\ \longrightarrow\ \text{p}^{+} + \text{e}^{-} + \bar{\nu}_\text{e}$$$

El dato de la actividad inicial te indica que se producen $$$ 3.03\cdot 10^{14}$$$ desintegraciones cada segundo. Como cada desintegración produce una partícula beta, o electrón, serán:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf N_{\beta^{-}} = 3.03\cdot 10^{14}\ \text{partículas}\cdot\ s^{-1}}}$$$

b) La constante de desintegración relaciona la actividad inicial con el número de núcleos iniciales, por lo que debes calcular previamente los núcleos radiactivos que hay en los 30 g de muestra:

$$$ \require{cancel} \text{N}_0 = 30\ \cancel{\text{g}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{228\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.02\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 7.92\cdot 10^{22}\ \text{núcleos}}$$$

Despejas el valor de la constante de desintegración en la ecuación de la emisión radiactiva:

$$$ \text{A}_0 = \lambda\cdot \text{N}_0\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \lambda = \dfrac{A_0}{N_0}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \lambda = \dfrac{3.03\cdot 10^{14}\ \cancel{\text{núcleos}}\cdot \text{s}^{-1}}{7.92\cdot 10^{22}\ \cancel{\text{núcleos}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 3.83\cdot 10^{-9}\ s^{-1}}}$$$

La ecuación que relaciona el periodo de semidesintegración con la constante radiactiva es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf T_{\frac{1}{2}} = \dfrac{ln\ 2}{\lambda}}$$$

Sustituyes el valor de la constante de desintegración y calculas:

$$$ \text{T}_{\frac{1}{2}} = \dfrac{\text{ln}\ 2}{3.83\cdot 10^{-9}\ \text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.81\cdot 10^{8}\ s}}$$$

c) La ley de desintegración radiactiva en función de la masa es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf m(t) = m_0\cdot e^{-\lambda t}}$$$

Es necesario que el tiempo esté expresado en unidad SI, por lo que debes hacer la conversión a segundos:

$$$ \require{cancel} 10\ \cancel{\text{años}}\cdot \dfrac{365\ \cancel{\text{días}}}{1\ \cancel{\text{año}}}\cdot \dfrac{24\ \cancel{\text{h}}}{1\ \cancel{\text{día}}}\cdot \dfrac{3.6\cdot 10^3\ \text{s}}{1\ \cancel{\text{h}}} = \color{royalblue}{\bf 3.15\cdot 10^8\ s}$$$

Sustituyes en la ecuación y obtienes la masa de muestra que queda tras los 10 años:

$$$ \text{m}(t) = 30\ \text{g}\cdot e^{-\left(3.83\cdot 10^{-9}\cdot 3.15\cdot 10^8\right)} = \color{royalblue}{\bf 8.97\ g}$$$

La masa de muestra transformada es la diferencia entre la masa inicial y la que aún queda:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\Delta m = m_0 - m(t)}} = (30 - 8.97)\ \text{g} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 21.03\ g}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 4A (8712)

F_y_Q — 2026-09-14T02:48:35Z

Cuando una lámina de plata se ilumina con luz de 150 nm se necesita un potencial de 3.55 V para frenar los electrones emitidos. Sin embargo, si se usa una luz de 200 nm, el potencial para frenar los electrones es de 1.48 V. A partir de estos datos, determina:

a) El valor de la constante de Planck.

b) El trabajo de extracción de los electrones de la lámina de plata en eV.

Datos: $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{e} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$.

La ecuación de Planck relaciona la energía de un fotón con su frecuencia, o longitud de onda, estableciendo una proporcionalidad entre ambas magnitudes. La constante de proporcionalidad es la constante de Planck. La explicación del efecto fotoeléctrico de Einstein establece que la energía del fotón es invertida en el trabajo de extracción del electrón del metal y la energía cinética que adquiere al ser extraído:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{E_{\text{fotón}} = W_{ext} + E_C}}\ \to\ \text{h}\cdot \nu = \text{W}_{\text{ext}} + \text{E}_\text{C}$$$

Puedes expresar la energía del fotón en función de la longitud de onda y la energía cinética en función del potencial que necesitas para frenarlo y la carga del electrón:

$$$ \color{forestgreen}{\bf h\cdot \dfrac{c}{\lambda} = W_{ext} + e\cdot V}\quad (\text{Ec. 1})$$$

a) Necesitas eliminar el trabajo de extracción de la ecuación anterior para poder calcular el valor de la constante de Planck. Como conoces el potencial necesario para frenar los fotoelectrones para dos valores de longitud de onda distintos:

$$$ \begin{cases} \text{h}\cdot \dfrac{\text{c}}{\lambda_1} = \text{W}_{\text{ext}} + \text{e}\cdot \text{V}_1\quad (\text{Ec. 2}) \\ \text{h}\cdot \dfrac{\text{c}}{\lambda_2} = \text{W}_{\text{ext}} + \text{e}\cdot \text{V}_2\quad (\text{Ec. 3}) \end{cases}$$$

Si restas la Ec. 3 de la Ec. 2 puedes eliminar el trabajo de extracción de la ecuación y despejar el valor de la constante de Planck:

$$$ \text{h}\cdot \text{c}\cdot \left(\dfrac{1}{\lambda_1} - \dfrac{1}{\lambda_2}\right) = \text{e}\cdot (\text{V}_1 - \text{V}_2)\ \to\ \color{forestgreen}{\bf h = \dfrac{e\cdot (V_1 - V_2)}{c\cdot \left(\dfrac{1}{\lambda_1} - \dfrac{1}{\lambda_2}\right)}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{h} = \dfrac{1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\cdot (3.55 - 1.48)\ \text{V}}{3\cdot 10^8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}\left(\dfrac{1}{1.5\cdot 10^{-7}} - \dfrac{1}{2\cdot 10^{-7}}\right)\ \cancel{\text{m}^{-1}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.62\cdot 10^{-34}\ J\cdot\ s}}$$$

b) Puedes despejar el trabajo de extracción de la Ec. 1. Sustituyes por los datos de cualquier de los dos casos:

$$$ \color{forestgreen}{\bf W_{ext} = h\cdot \dfrac{c}{\lambda_1} - e\cdot V_1}$$$

Sustituyes los valores en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{W}_{\text{ext}} = \dfrac{6.62\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \cancel{\text{s}}\cdot 3\cdot 10^8\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{1.5\cdot 10^{-7}\ \cancel{\text{m}}} - 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\cdot 3.55\ \text{V} = \color{royalblue}{\bf 7.57\cdot 10^{-19}\ J}$$$

El último paso es hacer la conversión a la unidad que indica el enunciado:

$$$ \require{cancel} 7.57\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.73\ eV}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 3B (8711)

F_y_Q — 2026-09-12T05:25:17Z

Un rayo de luz incide desde aire sobre una lámina de espesor «e = 3 cm», con un ángulo de incidencia de 48º.

El índice de refracción de la lámina es «n = 1.7». El rayo, tras sufrir refracción en la cara superior, se refleja en la cara inferior de la lámina y vuelve a salir al aire, tal y como se muestra en la figura. Determina:

a) El ángulo de refracción en la cara superior.

b) El tiempo que tarda el rayo refractado en llegar a la cara inferior de la lámina.

c) La separación «x» entre los rayos (1) y (2).

Datos: $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{n}_{\text{aire}} = 1$$$.

a) Para calcular el ángulo de refracción en la cara superior, aplicas la segunda ley de Snell, despejando el valor del seno del ángulo de refracción:

$$$ \text{n}_{\text{aire}}\cdot \text{sen}\ \theta_\text{i} = \text{n}\cdot \text{sen}\ \theta_\text{r}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf sen\ \theta_r = \dfrac{n_{aire}\cdot sen\ \theta_i}{n}}$$$

El ángulo que quieres calcular lo obtienes haciendo la función inversa del seno:

$$$ \theta_\text{r} = \text{arcsen} \left(\dfrac{1\cdot \text{sen}\ 48}{1.7}\right)\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \theta_r = 25.9^o}}$$$

b) Si atiendes al esquema del enunciado:

Lo primero que debes calcular es la distancia que recorre el rayo en el interior de la lámina. Como conoces el espesor de la lámina y el ángulo de refracción, puedes relacionar ambas magnitudes con la distancia que recorre por medio la trigonometría:

$$$ \text{cos}\ \theta_\text{r} = \dfrac{\text{e}}{\text{d}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{d = \dfrac{e}{cos\ \theta_r}}} = \dfrac{3\ \text{cm}}{\text{cos}\ 25.9^o} = \color{royalblue}{\bf 3.34\ cm}$$$

La velocidad de propagación de la luz en el interior de la lámina es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v = \dfrac{c}{n}}} = \dfrac{3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}}{1.7} = \color{royalblue}{\bf 1.77\cdot 10^8\ m\cdot s^{-1}}$$$

Ya puedes calcular el tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{t = \dfrac{d}{v}}} = \dfrac{3.34\cdot 10^{-2}\ \cancel{\text{m}}}{1.77\cdot 10^8\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.89\cdot 10^{-10}\ s}}$$$

c) En el esquema, el segmento «x» sobre la cara superior de la lámina representa la distancia horizontal entre el punto de incidencia del rayo (1) y el punto por donde sale tras recorrer la lámina (2).
Si analizas el recorrido interno del rayo puedes ver que el avance horizontal que experimenta el rayo desde la cara superior hasta la cara inferior es «$$$ \Delta \text{x}$$$». Como se refleja en la cara inferior con el mismo ángulo que el ángulo de refracción, vuelve a tener el mismo avance horizontal «$$$ \Delta \text{x}$$$» hasta emerger por la cara superior, de ahí la forma de V invertida que tiene el esquema. Este avance horizontal es:

$$$ \Delta \text{x} = \text{e}\cdot \text{tg}\ \theta_\text{r}$$$

La distancia que separa a los rayos (1) y (2) es:

$$$ \text{x} = 2\cdot \Delta \text{x}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{x = 2\cdot e\cdot tg\ \theta_r}} = 2\cdot 3\cdot 10^{-2}\ \text{m}\cdot \text{tg}\ 25.9^o\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf x = 2.92\cdot 10^{-2}\ m}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 3A (8710)

F_y_Q — 2026-09-10T05:06:20Z

La ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de la dirección positiva del eje x viene dada por la expresión $$$ \text{y(x,t)}=\text{Asen}(\omega \text{t} - \text{kx} + \phi)$$$. En la figura (a) se representa el desplazamiento de los diferentes puntos del medio en el instante t = 0. En la figura (b) se representa la velocidad de oscilación del punto x = 0 del medio en función del tiempo. Determina:

a) La amplitud de la onda «A» y el número de ondas «k».

b) La fase de la onda «$$$ \phi$$$» y el valor máximo de la velocidad de oscilación.

c) La velocidad de propagación de la onda.

a) Si miras el gráfico (a), el valor máximo de elongación que marca la onda, para el instante inicial, es de 4 cm. Ese valor es el que coincide con el valor de la amplitud de la onda. Por lo tanto:

$$$ \text{A} = 4\text{ cm}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf A = 0.04\ m}}$$$

En esta misma gráfica tienes que buscar dos puntos consecutivos con la misma elongación y ver qué valores de «x» corresponden a ambos. La diferencia entre esos valores será la longitud de onda. Si fijas la atención en los mínimos de la onda puedes ver que se encuentran en los valores 1.5 m y 7.5 m. La longitud de onda será:

$$$ \lambda = \mathrm{(x_2 - x_1)} = (7.5 - 1.5)\ \text{m}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \lambda = 6\ m}$$$

Una vez que conoces la longitud de onda puedes calcular el número de ondas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{k = \dfrac{2\pi}{\lambda}}} = \dfrac{2\pi}{6\ \text{m}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf k = 1.05\ rad\cdot m^{-1}}}$$$

b) En el gráfico (b) puedes ver la velocidad de oscilación del punto x = 0 en función del tiempo. La ecuación de la velocidad de oscilación es:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc}}(x, t)} = \mathrm{\dfrac{\partial y}{\partial t}} = \color{forestgreen}{\bf A\omega \cos(\omega t - kx + \phi)}$$$

La velocidad máxima coincide con el valor uno para el coseno, es decir:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc, máx}}} = \mathrm{A\omega}\quad (\text{Ec}.1)$$$

Si buscas los valores de tiempo para dos valores consecutivos de la misma velocidad, de manera análoga a como lo hiciste en el gráfico (a) en el apartado anterior, verás que los máximos corresponden a los valores 4 y 8 s. La diferencia entre ambos tiempos es el periodo:

$$$ \text{T} = (8 - 4)\ \text{s}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf T = 4\ s}$$$

La frecuencia angular es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\omega = \dfrac{2\pi}{\text{T}}}} = \dfrac{2\pi}{4\ \text{s}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf \omega = \dfrac{\pi}{2}\ rad\cdot s^{-1}}$$$

Ya puedes calcular el valor máximo de la velocidad de oscilación, sustituyendo en la (Ec. 1):

$$$ \mathrm{v_{\text{osc, máx}}} = 0.04\ \text{m}\cdot \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.28\cdot 10^{-2}\ m\cdot s^{-1}}}$$$

Para calcular el desfase debes analizar el gráfico (a) para ver el valor de la elongación en la posición y tiempo iniciales, es decir, «y(0,0)». Puedes ver que ese valor es cero, por lo que, sustituyendo en la ecuación de la onda:

$$$ \text{y}(0, 0) = \text{Asen}(\phi) = 0 \implies \begin{cases} \phi = 0\text{ rad} \\ \phi = \pi\text{ rad} \end{cases}$$$

Para saber cuál de los dos valores es el correcto tienes volver a mirar el gráfico (b). En t = 0, la velocidad máxima es positiva:

$$$ \mathrm{v_{\text{osc}}}(0, 0) = \text{A}\omega \text{cos}(\phi) \gt 0 \implies \begin{cases} \text{Si}\ \phi = 0\ \to\ \text{cos}(0) = 1 \gt 0 \\ \text{Si}\ \phi = \pi\ \to\ \text{cos}(\pi) = -1 \lt 0 \end{cases}\ \implies \color{firebrick}{\boxed{\bf \phi = 0\ rad}}$$$

c) La velocidad de propagación de la onda es el cociente entre la longitud de onda y el periodo. Como conoces ambas magnitudes:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v = \dfrac{\lambda}{T}}} = \dfrac{6\ \text{m}}{4\ \text{s}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf v= 1.5\ m\cdot s^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN VÍDEO.

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2B (8705)

F_y_Q — 2026-09-05T04:27:15Z

Dos masas puntuales, $$$ \text{m}_1 = 2\ \text{kg}$$$ y $$$ \text{m}_2 = 4\ \text{kg}$$$ están situadas en el origen de coordenadas y en el punto (4, 0) m del plano «XY», respectivamente. Calcula:

a) El punto del eje X entre ambas masas en el que el campo gravitatorio creado por las dos masas es nulo.

b) El campo gravitatorio total debido a ambas masas en el punto (0, 2) m.

Dato: $$$ \text{G} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$$$.

a) El campo gravitatorio creado por una masa puntual «m» a una distancia «d» viene dado por la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g} = -G\cdot \dfrac{m}{r^3}\ \vec{r}}$$$

Tienes que considerar un punto P(x, 0) entre ambas masas, donde 0 < x < 4. La distancia entre la primera masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_1 = \text{x}$$$, mientras que la distancia entre la segunda masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_2 = 4 - \text{x}$$$.

El campo gravitatorio de la primera masa $$$ \vec{\text{g}}_1$$$ apunta hacia la izquierda y en sentido hacia la masa, mientras que el campo gravitatorio de la segunda masa $$$ \vec{\text{g}}_2$$$ apunta hacia la segunda masa y con sentido hacia la derecha:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{x^2}\ \vec{i}\\ \vec{g}_2 = G\cdot \dfrac{m_2}{(4 - x)^2}\ \vec{i}}$$$

Se tiene que cumplir que el campo total sea nulo. Si aplicas el principio de superposición:

$$$ \require{cancel} \vec{\text{g}}_T = \vec{\text{g}}_1 + \vec{\text{g}}_2 = \vec{0}\ \to\ \vert\vec{\text{g}}_1\vert = \vert\vec{\text{g}}_2\vert\ \to\ \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_1}{\text{x}^2} = \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_2}{(4 - \text{x})^2}$$$

Sustituyes las masas por sus valores, simplificas y tomas raíz cuadrada en ambos miembros:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\cancel{2}}{\text{x}^2} = \dfrac{\cancelto{2}{4}}{(4 - \text{x})^2}\ \to\ \dfrac{1}{\text{x}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4 - \text{x}}$$$

Tienes que seguir trabajando con la ecuación hasta poder despejar «x»:

$$$ 4 - \text{x} = \sqrt{2}\text{x}\ \to\ \text{x}(1 + \sqrt{2}) = 4\ \to\ \text{x} = \dfrac{4}{1 + \sqrt{2}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf x = 1.66\ m}}$$$

El punto en el que el campo total es nulo es P (1.66, 0) m.

b) Lo primero haces es calcular el campo que va desde cada masa hasta el punto indicado. Como se trata de una magnitud vectorial, debes calcular el vector de posición de cada masa con respecto al punto:

$$$ \vec{\text{r}}_1 = (0 - 0)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_1 = 2\ \vec{j}}} \\ \vec{\text{r}}_2 = (0 - 4)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_2 = -4\ \vec{i} + 2\ \vec{j}}}$$$

Los módulos de los vectores, que son las distancias desde las masas al punto considerado, son:

$$$ \vert \vec{\text{r}}_1\vert = \sqrt{2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_1\vert = 2\ m}} \\ \vert \vec{\text{r}}_2\vert = \sqrt{4^2 + 2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_2\vert = \sqrt{20}\ m}}$$$

El campo gravitatorio de la primera masa es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{r_1^3}\ \vec{r}_1}} = -6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{kg}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\ \text{kg}}{2^3\ \cancel{\text{m}^3}}\cdot 2\ \cancel{\text{m}}\vec{\text{j}} = \color{royalblue}{\bf{-3.34\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

De manera análoga puedes calcular el campo gravitatorio de la segunda masa. En este caso omito las unidades en el cálculo para que quede más claro:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_2 = -G\cdot \dfrac{m_2}{r_2^3}\ \vec{r}_2}} = -6.67\cdot 10^{-11}\cdot \dfrac{4}{\sqrt{20}^3}\cdot \left(-4\ \vec{\text{i}} + 2\vec{\text{j}}\right) = \color{royalblue}{\bf{(1.19\ \vec{i} - 0.596\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

Si aplicas el principio de superposición en el punto considerado obtendrás el campo gravitatorio debido a las dos masas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_T = \vec{g}_1 + \vec{g}_2}} = 1.19\cdot 10^{-11}\ \vec{\text{i}} - \left[(3.34 + 0.596)\cdot 10^{-11}\right]\ \vec{\text{j}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf (1.19\ \vec{i} - 3.94\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

El módulo del campo total es:

$$$ \vert \vec{\text{g}}_\text{T}\vert = \sqrt{1.19^2 + 3.94^2}\cdot 10^{-11} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.12\cdot 10^{-11}\ N\cdot kg^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2A (8704)

F_y_Q — 2026-09-04T04:23:57Z

Se ha situado un satélite de comunicaciones de masa 1 500 kg en una órbita circular alrededor de la Tierra. La energía mecánica del satélite en su órbita es $$$ -4.51\cdot 10^{10}\ \text{J}$$$.

a) Calcula el radio de la órbita y la velocidad del satélite en ella.

b) ¿Cuántas vueltas alrededor de la Tierra da el satélite en un día?

c) Determina la velocidad de escape del satélite desde su órbita.

Datos: $$$ \text{G} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$$$; $$$ \text{M}_\text{T} = 5.97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$$$.

a) Como conoces el valor de la energía mecánica del satélite, puedes despejar el valor del radio de la órbita:

$$$ \text{E}_\text{M} = \text{E}_\text{C} + \text{E}_\text{P} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\text{G}\cdot\text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}} - \dfrac{\text{G}\cdot \text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}}\ \to\ \text{E}_\text{M} = -\dfrac{\text{G}\cdot \text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{2R}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf R = -\dfrac{G\cdot M_T\cdot m}{2E_M}}$$$

Sustituyes en la ecuación y calculas el radio de la órbita:

$$$ \require{cancel} \text{R} = -\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\cancel{\text{N}}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\cancel{\text{kg}^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{\text{kg}}\cdot 1.5\cdot 10^3\ \cancel{\text{kg}}}{2\cdot (-4.51\cdot 10^{10})\ \cancel{\text{N}}\cdot \cancel{\text{m}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.62\cdot 10^6\ m}}$$$

Para que el satélite gire en una órbita circular es necesario que la fuerza centrípeta sea igual a la fuerza de atracción gravitatoria. Si igualas ambas ecuaciones puedes despejar el valor de la velocidad en la órbita:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{G} = \text{F}_{\text{ct}}\ \to\ \text{G}\cdot \dfrac{\text{M}_\text{T}\cdot \cancel{\text{m}}}{\text{R}\cancel{^2}} = \dfrac{\cancel{\text{m}}\cdot \text{v}^2}{\cancel{\text{R}}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \sqrt{\dfrac{G \cdot M_T}{R}}}$$$

Conoces los datos, por lo que puedes hacer el cálculo:

$$$ \require{cancel} \text{v} = \sqrt{\dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot \text{m}\cancel{^2}}{\text{kg}\cancel{^2}}\cdot 5.97\cdot 10^{24}\ \cancel{\text{kg}}}{6.62\cdot 10^6\ \cancel{\text{m}}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.75\cdot 10^3\ m\cdot s^{-1}}}$$$

b) Como sabes la velocidad orbital, puedes calcular el periodo del satélite, que es el tiempo que tarda en completar una vuelta:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{T = \dfrac{2\pi\cdot R}{v}}} = \dfrac{2\cdot \pi\cdot 6.62\cdot 10^6\ \cancel{\text{m}}}{7.75\cdot 10^3\ \cancel{\text{m}}\cdot \text{s}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 5.37\cdot 10^3\ s}$$$

El número de vueltas que dará en un día es:

$$$ \require{cancel} \text{N} = \dfrac{1\ \cancel{\text{día}}\cdot \dfrac{86\ 400\ \cancel{\text{s}}}{1\ \cancel{\text{día}}}}{5.37\cdot 10^3\ \cancel{\text{s}}\cdot \text{vuelta}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 16.1\ vueltas}}$$$

El satélite da 16 vueltas completas en un día.

c) La velocidad de escape desde la órbita es la velocidad mínima que debe tener el satélite para que escape hacia el infinito con velocidad nula, es decir, para que su energía mecánica total sea cero. Basta con que impongas esa condición a la energía mecánica del satélite y despejes la velocidad:

$$$ \text{E}_\text{M}(\infty) = 0\ \to\ \dfrac{\text{m}}{2}\cdot \text{v}_\text{e}^2 - G\cdot \dfrac{\text{M}_\text{T}\cdot \text{m}}{\text{R}} = 0\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v_e = \sqrt{\dfrac{2G\cdot M_T}{R}}}$$$

Observa que el radicando es el doble de la velocidad orbital, por lo que la velocidad de escape es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{v_e = \sqrt{2}\cdot v}} = \sqrt{2}\cdot 7.75\cdot 10^3\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.097\cdot 10^4\ m\cdot s^{-1}}}$$$

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 1 (8703)

F_y_Q — 2026-09-03T05:35:57Z

Se han colocado dos placas paralelas perpendiculares a la dirección «x». Una de ellas se ha cargado con carga positiva y la otra con igual carga, pero de signo negativo. Mediante una sonda se ha medido el potencial electrostático en la región entre las placas $$$ 0 \le \text{x} \le 10\ \text{m}$$$. Los valores del potencial se representan en la figura. A partir de ella se ha determinado que el potencial electrostático en el intervalo, $$$ 0 \le \text{x} \le 10\ \text{m}$$$, viene dado por la expresión:

$$$ \text{V}(\text{x}) = -3\text{x}$$$

donde «x» está expresando en metros y «V» en voltios. La intensidad del campo eléctrico está relacionada con el potencial, para el caso unidimensional, mediante la expresión:

$$$ \text{E(x)} = -\dfrac{\text{dV}}{\text{dx}}$$$

a) Calcula el campo eléctrico en el intervalo $$$ 0 \le \text{x} \le 10\ \text{m}$$$.

b) Determina la aceleración que tendría una carga de 10 nC y masa $$$ 6\cdot 10^{-10}\ \text{kg}$$$ que se situara en el punto x = 5 m.

c) Si la carga de 10 nC y masa $$$ 6\cdot 10^{-10}\ \text{kg}$$$ se deja en reposo en el origen de coordenadas, determina su velocidad en el punto x = 5 m.

a) El campo eléctrico se define como la variación del potencial con respecto de la posición, cambiada de signo. Como conoces la expresión del potencial con respecto de la posición, derivas y obtienes el valor del campo:

$$$ \text{E}(\text{x}) = -\dfrac{\text{dV}}{\text{dx}} = -\dfrac{\text{d}(-3\text{x})}{\text{dx}} = \color{royalblue}{\bf 3\ V\cdot m^{-1}}$$$

Como puedes ver, el campo eléctrico es uniforme y es constante en todo el intervalo, con sentido positivo en el eje X:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf \vec{E} = 3\ \vec{i}\ V\cdot m^{-1}}}$$$

b) La fuerza que experimenta la partícula es la fuerza producida por el campo eléctrico. Solo tienes que sustituir y calcular:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{F_E = q\cdot E}} = 10\cdot 10^{-9}\ \cancel{\text{C}}\cdot 3\ \text{N}\cdot \cancel{\text{C}^{-1}} = \color{royalblue}{\bf 3\cdot 10^{-8}\ N}$$$

La aceleración que adquiere la puedes calcular a partir de la segunda ley de Newton:

$$$ \text{F}_\text{E} = \text{m}\cdot \text{a}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf a = \dfrac{F_E}{m}}$$$

Sustituyes y calculas:

$$$ \text{a} = \dfrac{3\cdot 10^{-8}\ \text{N}}{6\cdot 10^{-10}\ \text{kg}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 50\ m\cdot s^{-2}}}$$$

Como el campo es constante, la aceleración también será constante en el punto indicado y su sentido será positivo en el eje X.

c) Dado que la aceleración es constante, puedes calcular la velocidad a partir de la ecuación de un MRUA:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v^2 = v_0^2 + 2\cdot a\cdot x}$$$

La velocidad inicial es nula, según indica el enunciado, y la posición es x = 5 m:

$$$ \text{v} = \sqrt{2\cdot 50\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\cdot 5\ \text{m}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 22.4\ m\cdot s^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO EN VÍDEO.

Ejercicio competencial: calibración de un espectrómetro magnético con polonio-210 (8702)

F_y_Q — 2026-09-02T03:14:00Z

En un laboratorio de física nuclear se utiliza una muestra de polonio-210 ($$$ ^{210}_{84}\text{Po}$$$), que es un emisor alfa puro, para calibrar un espectrómetro magnético. Las partículas alfa ($$$ ^{4}_{2}\text{He}$$$) emitidas son inyectadas en una cámara donde se aplica un campo magnético uniforme de 0.500 T, perpendicular a su velocidad, para determinar su momento lineal. Durante la desintegración, el núcleo hijo de plomo-206 ($$$ ^{206}_{82}\text{Pb}$$$) puede quedar en un estado excitado y, al relajarse, emite un fotón de una energía de $$$ 4.87\cdot 10^{-13}\ \text{J}$$$.

Para la puesta a punto del equipo de detección, los técnicos utilizan una espira circular de radio 0.1 m y resistencia de $$$ 0.5\ \Omega$$$, situada en el interior de un solenoide que genera un campo magnético variable, que es perpendicular a la espira, según la ley $$$ \text{B}(\text{t}) = 0.5\cdot \left(1 - \text{e}^{-2\text{t}}\right)\ \text{T}$$$, expresada en segundos, simulando las perturbaciones del campo en la cámara.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Escribe la reacción nuclear ajustada que tiene lugar en la muestra. Sabiendo que el fotón emitido es una onda electromagnética, calcula su frecuencia y su longitud de onda. ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece?

b) Si las partículas alfa describen una trayectoria circular de radio 0.250 m dentro del espectrómetro, determina la velocidad con la que fueron emitidas. Justifica físicamente por qué la trayectoria es circular y qué ocurriría con el radio si la velocidad de las partículas fuera el doble.

c) Calcula la fuerza electromotriz inducida y la intensidad de corriente que circulará por la espira de calibración en el instante 1 s. Explica brevemente el significado físico del signo de la «fem» inducida.

d) La muestra inicial tiene una masa de 1 mg. Calcula el número de núcleos de polonio-210 que quedarán sin desintegrar después de 30 días y la actividad de la muestra en ese instante, en unidades SI.

Datos: $$$ \text{m}_\alpha = 6.64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$$; $$$ \text{e} = 1.60\cdot 10^{-19}\ \text{C}$$$; $$$ \text{h} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$$; $$$ \text{c} = 3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{N}_\text{A} = 6.022\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \text{M}_{\text{Po}} = 210\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$$$; $$$ \tau_{\text{Po}} = 138.4\ \text{días}$$$.

a) La reacción nuclear es una desintegración alfa de un núcleo de polonio-210 que produce un núcleo de plomo-206 y una radiación gamma al relajarse:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf ^{210}_{84}Po \longrightarrow\ ^{206}_{82}Pb + ^{4}_{2}He + E}}$$$

A partir de la ecuación de Planck puedes obtener la frecuencia de la radiación:

$$$ \text{E} = \text{h}\cdot \nu\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \nu = \dfrac{E}{h}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \nu = \dfrac{4.87\cdot 10^{-13}\ \cancel{\text{J}}}{6.63\cdot 10^{-34}\ \cancel{\text{J}}\cdot \text{s}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 7.35\cdot 10^{20}\ s^{-1}}}$$$

El producto de la frecuencia por la longitud de onda es igual a la velocidad de propagación de la onda, por lo que la longitud de onda de la radiación es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{c}{\nu}}} = \dfrac{3\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{7.35\cdot 10^{20}\ \cancel{\text{s}^{-1}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.08\cdot 10^{-13}\ m}}$$$

Esta longitud de onda es del orden del diámetro de un núcleo atómico, por lo que pertenece a la zona de los rayos gamma del espectro electromagnético.

b) Cuando una partícula cargada eléctricamente entra en un campo magnético, con dirección perpendicular al campo, la fuerza magnética que se establece entre el campo y la partícula es perpendicular al plano que forman ambas magnitudes, como establece la ecuación de Lorentz:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{F}_M = q\cdot \vec{v}\times \vec{B}}$$$

Al definirse como un producto vectorial, la dirección de la fuerza es perpendicular al plano que forman la velocidad y el campo.

La fuerza magnética no realiza trabajo porque no modifica el módulo de la velocidad, pero sí su dirección, obligando a la partícula a describir un movimiento circular uniforme. Como la fuerza resultante de un MCU es la fuerza centrípeta, puedes igualarla a la fuerza magnética y despejar la velocidad:

$$$ \text{F}_\text{M} = \text{F}_{\text{ct}}\ \to\ \text{q}_{\alpha}\cdot \text{v}\cdot \text{B} = \text{m}\cdot \dfrac{\text{v}^2}{R}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf v = \dfrac{q_{\alpha}\cdot B\cdot R}{m}}\quad (\text{Ec}.1)$$$

La carga de la partícula «$$$ \alpha$$$» es el doble de la carga del electrón. Si sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{v} = \dfrac{2\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{C}\cdot 0.5\ \text{T}\cdot 0.25\ \text{m}}{6.64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.02\cdot 10^{6}\ m\cdot s^{-1}}}$$$

Si despejas el valor del radio «R» en la Ec.1 obtienes la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf R = \dfrac{m\cdot v}{q\cdot B}}$$$

Puedes ver que el radio de la trayectoria es directamente proporcional a la velocidad. Por tanto, si la velocidad se duplica, el radio de la circunferencia también se duplicará.

c) El flujo magnético instantáneo a través de la espira es:

$$$ \Phi(\text{t}) = \vec{\text{B}}\cdot \vec{\text{S}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf \Phi(t) = B\cdot S\cdot cos\ \alpha}$$$

Como el campo magnético es perpendicular a la espira el coseno del ángulo es uno. Como sabes el radio de la espira puedes calcular su superficie. Si sustituyes en la ecuación y calculas:

$$$ \Phi(\text{t}) = \left[0.5\cdot \left(1 - \text{e}^{-2\text{t}}\right)\right] \text{T}\cdot \pi\cdot 0.1^2\ \text{m}^2\ \to\ \color{royalblue}{\bf \Phi(t) = 1.57\cdot 10^{-2}\left(1 - e^{-2t}\right)\ T\cdot m^2}$$$

A partir de la ley de Faraday puedes calcular la «fem» inducida si derivas la expresión anterior con respecto al tiempo:

$$$ \varepsilon(t) = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -1.57\cdot 10^{-2}\left[0 -(-2\cdot e^{-2t})\right]\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf \Phi(t) = 3.14\cdot 10^{-2}\cdot e^{-2t}\ T\cdot m^2}}$$$

En el instante t = 1 s la «fem» es:

$$$ \varepsilon(1) = -3.14\cdot 10^{-2}\cdot e^{-2} = \color{royalblue}{\bf -4.25\cdot 10^{-3}\ V}$$$

El signo negativo indica que la «fem» se opone a la variación de flujo que la produce.

Aplicando la ley de Ohm, porque conoces la resistencia de la espira, obtienes la intensidad de la corriente inducida. Tomo en valor absoluto la «fem» calculada:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{I = \dfrac{\varepsilon}{R}}} = \dfrac{4.25\cdot 10^{-3}\ \text{V}}{0.5\ \Omega} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 8.5\cdot 10^{-3}\ A}}$$$

d) Lo primero que debes calcular es el número inicial de núcleos y lo haces a partir de la masa de polonio-210:

$$$ \require{cancel} \text{N}_0 = 1\ \cancel{\text{mg}}\cdot \dfrac{10^{-3}\ \cancel{\text{g}}}{1\ \cancel{\text{mg}}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{mol}}}{210\ \cancel{\text{g}}}\cdot \dfrac{6.022\cdot 10^{23}\ \text{núcleos}}{1\ \cancel{\text{mol}}} = \color{royalblue}{\bf 2.87\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}}$$$

La constante de desintegración es la inversa de la vida media:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\lambda = \dfrac{1}{\tau}}} = \dfrac{1}{138.4\ \text{días}} = \color{royalblue}{\bf 7.23\cdot 10^{-3}\ \text{días}^{-1}}$$$

A partir de la ley de desintegración puedes calcular los núcleos que quedarán sin desintegrar tras 30 días:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}}\ \to\ \text{N}(30) = 2.87\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}\cdot e^{-7.23\cdot 10^{-3}\cdot 30} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.31\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}}}$$$

La actividad en ese instante sigue la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf A(t) = \lambda\cdot N(t)}$$$

Antes de sustituir en la ecuación debes expresar la constante de desintegración en segundos:

$$$ \require{cancel} \lambda = 7.23\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{días}^{-1}}\cdot \dfrac{1\ \cancel{\text{días}}}{86\ 400\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 8.37\cdot 10^{-8}\ s^{-1}}$$$

Ya puedes sustituir en la ecuación y calcular la actividad:

$$$ \text{A}(30) = 8.37\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}\cdot 2.31\cdot 10^{18}\ \text{núcleos} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 1.93\cdot 10^{11}\ Bq}}$$$

Problema competencial: misión de investigación a un exoplaneta con una sonda espacial (8701)

F_y_Q — 2026-09-01T04:15:15Z

Una agencia espacial ha enviado una sonda científica de 500 kg para estudiar las propiedades de un exoplaneta recién descubierto. Tras llegar a sus cercanías, los ingenieros logran estabilizar la sonda en una órbita circular perfecta alrededor del planeta. Los telemetristas en la Tierra miden que el radio de dicha órbita es de $$$ 8.0\cdot 10^6\ \text{m}$$$ y que la sonda tarda exactamente dos horas en completar una vuelta completa. Con estos dos únicos datos, el equipo de astrofísica quiere determinar las características fundamentales del campo gravitatorio del planeta.

La sonda está equipada con un novedoso sistema de propulsión electrostática. Durante una maniobra de corrección de rumbo, se induce intencionadamente una carga neta positiva de $$$ 2.0\ \text{mC}$$$ en su chasis. Simultáneamente, en esa zona del espacio, los paneles solares generan un campo eléctrico externo uniforme de $$$ 300\ \text{N}\cdot \text{C}^{-1}$$$ dirigido radialmente hacia el centro del planeta. Los ordenadores de a bordo deben calcular la aceleración total que sufrirá la sonda en ese instante para ajustar los motores.

En el momento crítico de la maniobra, y mientras se aleja directamente de la Tierra, la sonda emite un conjunto de datos usando ondas de radio con una frecuencia de $$$ 100\ \text{MHz}$$$. Al viajar a la velocidad orbital que posee, los físicos de comunicaciones deben tener en cuenta el corrimiento Doppler para sintonizar correctamente la señal al recibirla en los radiotelescopios terrestres. El equipo de física cuántica aprovecha los datos de esta transmisión para caracterizar la radiación emitida por la antena, calculando la energía que transporta cada fotón de dicha señal.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Determina la masa del exoplaneta y el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la posición donde orbita la sonda.

b) Calcula la aceleración total (módulo, dirección y sentido) que experimenta la sonda en el momento en que se activa el campo eléctrico, teniendo en cuenta tanto la interacción gravitatoria como la eléctrica.

c) ¿Cuál será la frecuencia de la señal de radio que percibirán realmente los receptores en la Tierra, sabiendo que la sonda se está alejando en línea recta con la velocidad orbital calculada?

d) Determina la energía de cada fotón emitido por la antena, expresando el resultado en julios y en electronvoltios.

Datos: $$$ \text{c} = 3.0\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{h} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$$; $$$ 1\ \text{eV} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$$.

a) Para calcular la masa del exoplaneta, con los datos de los que dispones, tienes que recurrir al concepto de velocidad orbital. Como conoces el periodo y el radio de la órbita, la velocidad con la que gira la sonda es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v = \dfrac{2\cdot \pi\cdot R}{T}}$$$

Las dos horas del periodo equivalen a 7 200 s, por lo que la velocidad será:

$$$ \text{v} = \dfrac{2\cdot \pi \cdot 8.0\cdot 10^6\ \text{m}}{7\ 200\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 6.98\cdot 10^3\ m\cdot s^{-1}}$$$

Para que la sonda tenga una órbita estable es necesario que esté en equilibrio, es decir, que la fuerza de atracción gravitatoria sea igual a la fuerza centrípeta debida a su movimiento circular. Si igualas ambas fuerzas y despejas el valor de la masa del exoplaneta:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{G} = \text{F}_\text{c}\ \to\ \text{G}\cdot \dfrac{\text{M}\cdot \cancel{\text{m}}}{\text{R}\cancel{^2}} = \cancel{\text{m}}\cdot \dfrac{\text{v}^2}{\cancel{\text{R}}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf M = \dfrac{v^2\cdot R}{G}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{M} = \dfrac{(6.98\cdot 10^3)^2\ \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{s}^{-2}\cdot 8.0\cdot 10^6\ \text{m}}{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{kg}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.84\cdot 10^{24}\ kg}}$$$

El cálculo de la intensidad del campo, una vez conocida la masa del exoplaneta, es simple:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{g = \dfrac{G\cdot M}{R^2}}} = \dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{kg}^{-2}\cdot 5.84\cdot 10^{24}\ \text{kg}}{(8.0·10^6)^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.09\ m\cdot s^{-2}}}$$$

b) Cuando se activa el campo eléctrico sobre la sonda actúan dos fuerzas: la fuerza gravitatoria, que es central, y la fuerza eléctrica, que también apunta hacia el centro porque el campo eléctrico externo tiene esa dirección y sentido. Como ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido, la fuerza total será la suma de ambas. Si aplicas la segunda ley de Newton:

$$$ \text{F}_\text{G} + \text{F}_\text{E} = \text{m}\cdot \text{a}_\text{T}\ \to\ \text{m}\cdot \text{g} + \text{q}\cdot \text{E} = \text{m}\cdot \text{a}_\text{T}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf a_T = g + \dfrac{q\cdot E}{m}}$$$

Solo tienes que sustituir en los datos y calcular:

$$$ \require{cancel} \text{a}_\text{T} = 6.09\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2} + \dfrac{2.0\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{C}}\cdot 300\ \text{N}\cdot \cancel{\text{C}^{-1}}}{500\ \text{kg}} = (6.09 + 1.2\cdot 10^{-3})\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.0912\ m\cdot s^{-2}}}$$$

Como puedes ver, la fuerza eléctrica es muy pequeña con respecto a la gravitatoria, lo que implica una aceleración muy pequeña de la sonda y eso permite movimientos de corrección de rumbo muy precisos.

c) Como la sonda se aleja del receptos, que está en la Tierra, la frecuencia que recibida es menor que la que emite la sonda. Si la onda electromagnética tiene una velocidad mucho menor que la velocidad de la luz puedes usar la ecuación del efecto Doppler:

$$$ \color{forestgreen}{\bf f^{\prime} = f\cdot \left(1 - \dfrac{v}{c}\right)}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{f}^{\prime} = 10^8\ \text{Hz}\cdot \left(1 - \dfrac{6.98\cdot 10^3 \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{3.0\cdot 10^8\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 9.998\cdot 10^7\ Hz}}$$$

d) La energía de los fotones sigue la ecuación de Planck:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E = h\cdot \nu}$$$

Conoces la frecuencia de la emisión por lo que el cálculo de la energía es inmediato:

$$$ \require{cancel} \text{E} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \cancel{\text{s}}\cdot 10^8\ \cancel{\text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.63\cdot 10^{26}\ J}}$$$

Necesitas hacer la conversión de unidades para expresar este valor en la otra unidad que indica el enunciado:

$$$ \require{cancel} 6.63\cdot 10^{26}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.14\cdot 10^{-7}\ eV}}$$$

PAU Madrid: química (junio 2026) - ejercicio 4B (8692)

F_y_Q — 2026-08-08T08:43:56Z

Contesta a las siguientes cuestiones:

a) En una planta industrial de síntesis de amoniaco se preparan disoluciones para su comercialización mezclándolo con agua. Calcula la molaridad de la disolución de amoniaco comercial preparada sabiendo que se almacena en botellas de 1.0 L, al 8.0 % en masa, y siendo la densidad de la disolución de $$$ 0.85\ \text{g}\cdot \text{cm}^{-3}$$$.

b) Calcula el pH y el grado de disociación de la disolución del apartado anterior.

c) Se hacen reaccionar 15.00 mL de una disolución acuosa de HCl 2.50 M con 25.00 mL de otra disolución acuosa de NaOH 1.70 M, ambas a 25 °C. Escribe la ecuación de la reacción que ocurre y calcula el pH de la disolución resultante. Considera volúmenes aditivos.

Dato a 25 ºC: $$$ \text{K}_\text{b}(\text{NH}_3) = 1.8\cdot 10^{-5}$$$. Masas atómicas (u): H = 1.0; N = 14.0.

a) Para calcular la molaridad necesitas la masa molar del amoniaco:

$$$ \text{M}_{\text{NH}_3} = 1\cdot 14 + 3\cdot 1 = \color{royalblue}{\bf 17\ g\cdot mol^{-1}}$$$

Si tomas en cuenta el volumen de las botellas en las que se almacena la disolución, y teniendo en cuenta la densidad de la disolución, el porcentaje en masa de la disolución y la masa molar del amoniaco, puedes calcular los moles de amoniaco que contiene cada botella:

$$$ \require{cancel} 1\ \cancel{\text{L}}\cdot \dfrac{0.85\ \cancel{\text{g D}}}{1\ \cancel{\text{cm}^3}}\cdot \dfrac{10^3\ \cancel{\text{cm}^3}}{1\ \cancel{\text{L}}}\cdot \dfrac{8\ \cancel{\text{g}} \text{NH}_3}{100\ \cancel{\text{g D}}}\cdot \dfrac{1\ \text{mol}}{17\ \cancel{\text{g}}} = \color{royalblue}{\bf 4.0\ moles\ NH_3}$$$

Como has considerado un volumen de un litro de disolución, la molaridad es: $$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf c_0 = 4.0\ M}}$$$.

b) El amoniaco es una base débil, lo puedes saber por el valor de su constante de basicidad, por lo que el equilibrio que establece con el agua es:

$$$ \begin{array}{lcccc} & \text{NH}_3(\text{ac}) & + & \text{H}_2\text{O}(\text{l}) & \rightleftharpoons & \text{NH}_4^+(\text{ac}) & + & \text{OH}^-(\text{ac}) \\ \text{Inicio (M)}: & \text{c}_0 & & - & & 0 & & 0 \\ \text{Equilibrio (M)}: & \text{c}_0(1-\alpha) & & - & & \text{c}_0\alpha & & \text{c}_0\alpha \\ \end{array}$$$

Si escribes la constante de basicidad en función del grado de ionización:

$$$ \require{cancel} \text{K}_\text{b} = \dfrac{[\text{NH}_4^+][\text{OH}^-]}{[\text{NH}_3]} = \dfrac{\cancel{\text{c}_0}\alpha\cdot \text{c}_0\alpha}{\cancel{\text{c}_0}\ (1-\alpha)}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf K_b = \dfrac{c_0\alpha^2}{1-\alpha}}$$$

El valor de la constante de basicidad es mucho más pequeño que el valor de la concentración inicial, por lo que es una buena aproximación considerar que $$$ 1 - \alpha \approx 1$$$:

$$$ \text{K}_\text{b} = \text{c}_0\cdot \alpha^2\ \to\ \color{forestgreen}{\bf{\alpha = \sqrt{\dfrac{K_b}{c_0}}}} = \sqrt{\dfrac{1.8\cdot 10^{-5}}{4.0}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 2.12\cdot 10^{-3}}}$$$

La aproximación hecha es buena y el valor del grado de ionización es del 0.21 %.
La concentración de los iones hidroxilo en el equilibrio es:

$$$ [\text{OH}^-] = \text{c}_0\cdot \alpha = 4.0\ \text{M}\cdot 2.12\cdot 10^{-3} = \color{royalblue}{\bf 8.48\cdot 10^{-3}\ M}$$$

Con este valor puedes calcular el pOH:

$$$ \text{pOH} = -\log[\text{OH}^-] = - \text{log}\ 8.48\cdot 10^{-3} = \color{royalblue}{\bf 2.07}$$$

El cálculo del pH es muy simple:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{pH + pOH = 14}}\quad (25^o\ \text{C})\ \to\ \text{pH} = 14 - 2.07\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf pH = 11.93}}$$$

c) La ecuación química de neutralización que tiene lugar es:

$$$ \color{firebrick}{\boxed{\bf HCl(ac) + NaOH(ac) \rightarrow NaCl(ac) + H_2O(l)}}$$$

Necesitas conocer los moles de cada reactivo que han reaccionado y los puedes calcular a partir de sus concentraciones y el volumen de cada uno que haces reaccionar:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{n_{HCl} = M_{HCl}\cdot V_{HCl}}} = 2.50\ \dfrac{\text{mol}}{\cancel{\text{L}}}\cdot 0.015\ \cancel{\text{L}} = \color{royalblue}{\bf 0.0375\ moles}$$$
$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{n_{NaOH} = M_{NaOH}\cdot V_{NaOH}}} = 1.70\ \dfrac{\text{mol}}{\cancel{\text{L}}}\cdot 0.025\ \cancel{\text{L}} = \color{royalblue}{\bf 0.0425\ moles}$$$

Tanto el ácido como la base son muy fuertes, por lo que están completamente disociados. Dado que la estequiometría de la reacción es 1:1, el reactivo limitante es el ácido y sobrará base tras la neutralización. Los moles que sobran de base son:

$$$ \text{n}^{\prime}_{\text{OH}^-} = (0.0425 - 0.0375)\ \text{mol} = \color{royalblue}{\bf 5\cdot 10^{-3}\ moles\ OH^-}$$$

Tienes que considerar que los volúmenes son aditivos, por lo que el volumen total de la disolución resultante es:

$$$ \text{V}_\text{T} = (15 + 25)\ \text{mL} = \color{royalblue}{\bf 40\ mL}$$$

La concentración de iones hidroxilo resultante es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{[OH^-] = \dfrac{n^{\prime}_{OH^-}}{V_T}}} = \dfrac{5\cdot 10^{-3}\ \text{mol}}{0.04\ \text{ L}} = \color{royalblue}{\bf 0.125\ M}$$$

Primero calculas el pOH, como en el segundo apartado del problema, y luego el haces el cálculo del pH:

$$$ \text{pOH} = - \text{log}\ 0.125 = \color{royalblue}{\bf 0.90}$$$

$$$ \text{pH} = (14 - 0.9)\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf pH = 13.10}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.