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La función de onda inicial de la partícula es: <br class='autobr' /> <br class='autobr' /> a) Determina la constante de normalización «A». <br class='autobr' /> b) Encuentra la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado fundamental (n=1).</p> - <a href="https://www.ejercicios-fyq.com/Fisica-cuantica-288" rel="directory">Física cuántica</a> / <a href="https://www.ejercicios-fyq.com/RESUELTO" rel="tag">RESUELTO</a>, <a href="https://www.ejercicios-fyq.com/Funcion-de-onda" rel="tag">Función de onda</a>, <a href="https://www.ejercicios-fyq.com/Constante-normalizacion" rel="tag">Constante normalización</a> <div class='rss_texte'><p>Una partícula de masa «m» está confinada en una caja unidimensional de longitud «L», con paredes infinitamente altas, es decir, con potencial infinito fuera de la caja. La función de onda inicial de la partícula es:</p> <p> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-vignettes/L335xH53/5198c5a1d37d7b6573bf695c9eac185c-63e92.png?1739335375' style='vertical-align:middle;' width='335' height='53' alt="\Psi(x,0) = \left\{ {A\cdot sen(\frac{\pi\cdot x}{L}),\ \ 0\leq x \leq L \atop 0,\ \ \ \ \ \text{en~otro~caso}}" title="\Psi(x,0) = \left\{ {A\cdot sen(\frac{\pi\cdot x}{L}),\ \ 0\leq x \leq L \atop 0,\ \ \ \ \ \text{en~otro~caso}}" /></p> </p> <p>a) Determina la constante de normalización «A».</p> <p>b) Encuentra la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado fundamental (n=1).</math></p></div> <hr /> <div <div class='rss_ps'><p>a) La normalización de la función de onda debe cumplir: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/4b24279652ae337bcf461da64ec482c9.png' style="vertical-align:middle;" width="181" height="54" alt="\int_0^L |\Psi(x,0)|^2 dx = 1" title="\int_0^L |\Psi(x,0)|^2 dx = 1" /> <br/> <br/> El cuadrado de la función de onda, en el intervalo de la integral, y la integral que tienes que resolver son: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/6d4b186521e259f39ae53f5bb1133f82.png' style="vertical-align:middle;" width="577" height="54" alt="{\color[RGB]{0,112,192}{\bm{|\Psi(x,0)|^2 = A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right)}}}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = 1}}}" title="{\color[RGB]{0,112,192}{\bm{|\Psi(x,0)|^2 = A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right)}}}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = 1}}}" /> <br/> <br/> Se trata de una integral con integrando trignométrico y puedes resolverla si tienes en cuenta la ecuación del cuadrado del seno: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/951d7112f71ab61883ebe8719b7d454c.png' style="vertical-align:middle;" width="220" height="49" alt="\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sen^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}}}" title="\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sen^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}}}" /> <br/> <br/> Sustituyes en la función: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/b6f4c03fcec18892a8fa2a678067b3c6.png' style="vertical-align:middle;" width="472" height="54" alt="\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2}{2} \int_0^L \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right] dx" title="\int_0^L A^2 \sen^2 \left(\frac{\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2}{2} \int_0^L \left[1 - \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}\right] dx" /> <br/> <br/> Para hacer la integral la separas en dos integrales: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/6e3e9843f3331f06d8158b125b8ce79b.png' style="vertical-align:middle;" width="340" height="54" alt="A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx - A^2 \int_0^L \frac{\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2} dx = 1" title="A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx - A^2 \int_0^L \frac{\cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{2} dx = 1" /> <br/> <br/> La primera integral es: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/e39052681d884fd49e9cc8e5b4c7183b.png' style="vertical-align:middle;" width="179" height="54" alt="A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{A^2 \frac{L}{2}}}" title="A^2 \int_0^L \frac{1}{2} dx = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{A^2 \frac{L}{2}}}" /> <br/> <br/> La integral trigonométrica es: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/ae064947559cf17effada58003bbcbfc.png' style="vertical-align:middle;" width="494" height="58" alt="\frac{A^2}{2} \int_0^L \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2\cdot L}{4\pi}\cdot \left[\sen\left(\frac{2\pi\cdot x}{L}\right)\right]_0^L = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0}" title="\frac{A^2}{2} \int_0^L \cos\left(\frac{2\pi x}{L}\right) dx = \frac{A^2\cdot L}{4\pi}\cdot \left[\sen\left(\frac{2\pi\cdot x}{L}\right)\right]_0^L = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0}" /> <br/> <br/> La constante de normalización será: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/0cc35dd1edc5fadd9743fdf2435edea0.png' style="vertical-align:middle;" width="243" height="53" alt="\frac{A^2\cdot L}{2} = 1\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{A = \sqrt{\frac{2}{L}}}}}" title="\frac{A^2\cdot L}{2} = 1\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{A = \sqrt{\frac{2}{L}}}}}" /></p> <br/> b) La función de onda del estado fundamental de una partícula en una dimensión es: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/90328f377f7ba4d9b3a2dd855c1463b7.png' style="vertical-align:middle;" width="206" height="52" alt="\psi_1 = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot \sen\left(\frac{\pi\cdot x}{L}\right)" title="\psi_1 = \sqrt{\frac{2}{L}}\cdot \sen\left(\frac{\pi\cdot x}{L}\right)" /> <br/> <br/> Observa que es de la misma forma que la función de onda y eso va a ser muy relevante. La probabilidad de que esté en el estado fundamental será: <br/> <br/> <img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/c91d1d64fe852f06e524328d4855d9fa.png' style="vertical-align:middle;" width="742" height="70" alt="{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P_1 = \left| \int_0^L \psi_1^*(x) \Psi(x,0) dx \right|^2}}}\ \to\ P_1 = \left| \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2" title="{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{P_1 = \left| \int_0^L \psi_1^*(x) \Psi(x,0) dx \right|^2}}}\ \to\ P_1 = \left| \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) \cdot \sqrt{\frac{2}{L}} \sen\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2" /> <br/> <br/> Simplificas la expresión anterior y resuelves: <br/> <br/> <p class="spip" style="text-align: center;"><img src='https://www.ejercicios-fyq.com/local/cache-TeX/33bdabdebd5c1ada9ace8c21efb00719.png' style="vertical-align:middle;" width="463" height="59" alt="P_1 = \left| \int_0^L \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2 = \frac{2}{L}\cdot {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{L}{2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P_1 = 1}}}" title="P_1 = \left| \int_0^L \frac{2}{L} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx \right|^2 = \frac{2}{L}\cdot {\color[RGB]{0,112,192}{\bm{\frac{L}{2}}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{P_1 = 1}}}" /></p> </math></p></div>