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[P(8705)] PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2B (8708)

F_y_Q — 2026-09-11T14:56:08Z

Haz clic sobre este enlace para ver la resolución y explicación escrita del ejercicio que se resuelve en el vídeo.

- 15 - PAU: exámenes resueltos de años anteriores / PAU, Campo gravitatorio, Intensidad campo, Principio superposición, EBAU, Selectividad

PAU Madrid: física (junio 2026) - ejercicio 2B (8705)

F_y_Q — 2026-09-05T04:27:15Z

Dos masas puntuales, $$$ \text{m}_1 = 2\ \text{kg}$$$ y $$$ \text{m}_2 = 4\ \text{kg}$$$ están situadas en el origen de coordenadas y en el punto (4, 0) m del plano «XY», respectivamente. Calcula:

a) El punto del eje X entre ambas masas en el que el campo gravitatorio creado por las dos masas es nulo.

b) El campo gravitatorio total debido a ambas masas en el punto (0, 2) m.

Dato: $$$ \text{G} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}$$$.

a) El campo gravitatorio creado por una masa puntual «m» a una distancia «d» viene dado por la ecuación:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g} = -G\cdot \dfrac{m}{r^3}\ \vec{r}}$$$

Tienes que considerar un punto P(x, 0) entre ambas masas, donde 0 < x < 4. La distancia entre la primera masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_1 = \text{x}$$$, mientras que la distancia entre la segunda masa y el punto «P» será $$$ \text{d}_2 = 4 - \text{x}$$$.

El campo gravitatorio de la primera masa $$$ \vec{\text{g}}_1$$$ apunta hacia la izquierda y en sentido hacia la masa, mientras que el campo gravitatorio de la segunda masa $$$ \vec{\text{g}}_2$$$ apunta hacia la segunda masa y con sentido hacia la derecha:

$$$ \color{forestgreen}{\bf \vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{x^2}\ \vec{i}\\ \vec{g}_2 = G\cdot \dfrac{m_2}{(4 - x)^2}\ \vec{i}}$$$

Se tiene que cumplir que el campo total sea nulo. Si aplicas el principio de superposición:

$$$ \require{cancel} \vec{\text{g}}_T = \vec{\text{g}}_1 + \vec{\text{g}}_2 = \vec{0}\ \to\ \vert\vec{\text{g}}_1\vert = \vert\vec{\text{g}}_2\vert\ \to\ \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_1}{\text{x}^2} = \cancel{\text{G}}\cdot \dfrac{\text{m}_2}{(4 - \text{x})^2}$$$

Sustituyes las masas por sus valores, simplificas y tomas raíz cuadrada en ambos miembros:

$$$ \require{cancel} \dfrac{\cancel{2}}{\text{x}^2} = \dfrac{\cancelto{2}{4}}{(4 - \text{x})^2}\ \to\ \dfrac{1}{\text{x}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4 - \text{x}}$$$

Tienes que seguir trabajando con la ecuación hasta poder despejar «x»:

$$$ 4 - \text{x} = \sqrt{2}\text{x}\ \to\ \text{x}(1 + \sqrt{2}) = 4\ \to\ \text{x} = \dfrac{4}{1 + \sqrt{2}}\ \to\ \color{firebrick}{\boxed{\bf x = 1.66\ m}}$$$

El punto en el que el campo total es nulo es P (1.66, 0) m.

b) Lo primero haces es calcular el campo que va desde cada masa hasta el punto indicado. Como se trata de una magnitud vectorial, debes calcular el vector de posición de cada masa con respecto al punto:

$$$ \vec{\text{r}}_1 = (0 - 0)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_1 = 2\ \vec{j}}} \\ \vec{\text{r}}_2 = (0 - 4)\ \vec{\text{i}} + (2 - 0)\ \vec{\text{j}}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vec{r}_2 = -4\ \vec{i} + 2\ \vec{j}}}$$$

Los módulos de los vectores, que son las distancias desde las masas al punto considerado, son:

$$$ \vert \vec{\text{r}}_1\vert = \sqrt{2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_1\vert = 2\ m}} \\ \vert \vec{\text{r}}_2\vert = \sqrt{4^2 + 2^2}\ \to\ \color{royalblue}{\bf{\vert \vec{r}_2\vert = \sqrt{20}\ m}}$$$

El campo gravitatorio de la primera masa es:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_1 = -G\cdot \dfrac{m_1}{r_1^3}\ \vec{r}_1}} = -6.67\cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}}{\text{kg}\cancel{^2}}\cdot \dfrac{2\ \text{kg}}{2^3\ \cancel{\text{m}^3}}\cdot 2\ \cancel{\text{m}}\vec{\text{j}} = \color{royalblue}{\bf{-3.34\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

De manera análoga puedes calcular el campo gravitatorio de la segunda masa. En este caso omito las unidades en el cálculo para que quede más claro:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_2 = -G\cdot \dfrac{m_2}{r_2^3}\ \vec{r}_2}} = -6.67\cdot 10^{-11}\cdot \dfrac{4}{\sqrt{20}^3}\cdot \left(-4\ \vec{\text{i}} + 2\vec{\text{j}}\right) = \color{royalblue}{\bf{(1.19\ \vec{i} - 0.596\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

Si aplicas el principio de superposición en el punto considerado obtendrás el campo gravitatorio debido a las dos masas:

$$$ \color{forestgreen}{\bf{\vec{g}_T = \vec{g}_1 + \vec{g}_2}} = 1.19\cdot 10^{-11}\ \vec{\text{i}} - \left[(3.34 + 0.596)\cdot 10^{-11}\right]\ \vec{\text{j}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf (1.19\ \vec{i} - 3.94\ \vec{j})\cdot 10^{-11}\ (N\cdot kg^{-1})}}$$$

El módulo del campo total es:

$$$ \vert \vec{\text{g}}_\text{T}\vert = \sqrt{1.19^2 + 3.94^2}\cdot 10^{-11} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.12\cdot 10^{-11}\ N\cdot kg^{-1}}}$$$

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

Problema competencial: misión de investigación a un exoplaneta con una sonda espacial (8701)

F_y_Q — 2026-09-01T04:15:15Z

Una agencia espacial ha enviado una sonda científica de 500 kg para estudiar las propiedades de un exoplaneta recién descubierto. Tras llegar a sus cercanías, los ingenieros logran estabilizar la sonda en una órbita circular perfecta alrededor del planeta. Los telemetristas en la Tierra miden que el radio de dicha órbita es de $$$ 8.0\cdot 10^6\ \text{m}$$$ y que la sonda tarda exactamente dos horas en completar una vuelta completa. Con estos dos únicos datos, el equipo de astrofísica quiere determinar las características fundamentales del campo gravitatorio del planeta.

La sonda está equipada con un novedoso sistema de propulsión electrostática. Durante una maniobra de corrección de rumbo, se induce intencionadamente una carga neta positiva de $$$ 2.0\ \text{mC}$$$ en su chasis. Simultáneamente, en esa zona del espacio, los paneles solares generan un campo eléctrico externo uniforme de $$$ 300\ \text{N}\cdot \text{C}^{-1}$$$ dirigido radialmente hacia el centro del planeta. Los ordenadores de a bordo deben calcular la aceleración total que sufrirá la sonda en ese instante para ajustar los motores.

En el momento crítico de la maniobra, y mientras se aleja directamente de la Tierra, la sonda emite un conjunto de datos usando ondas de radio con una frecuencia de $$$ 100\ \text{MHz}$$$. Al viajar a la velocidad orbital que posee, los físicos de comunicaciones deben tener en cuenta el corrimiento Doppler para sintonizar correctamente la señal al recibirla en los radiotelescopios terrestres. El equipo de física cuántica aprovecha los datos de esta transmisión para caracterizar la radiación emitida por la antena, calculando la energía que transporta cada fotón de dicha señal.

Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Determina la masa del exoplaneta y el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la posición donde orbita la sonda.

b) Calcula la aceleración total (módulo, dirección y sentido) que experimenta la sonda en el momento en que se activa el campo eléctrico, teniendo en cuenta tanto la interacción gravitatoria como la eléctrica.

c) ¿Cuál será la frecuencia de la señal de radio que percibirán realmente los receptores en la Tierra, sabiendo que la sonda se está alejando en línea recta con la velocidad orbital calculada?

d) Determina la energía de cada fotón emitido por la antena, expresando el resultado en julios y en electronvoltios.

Datos: $$$ \text{c} = 3.0\cdot 10^8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$$$; $$$ \text{h} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$$; $$$ 1\ \text{eV} = 1.6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$$$.

a) Para calcular la masa del exoplaneta, con los datos de los que dispones, tienes que recurrir al concepto de velocidad orbital. Como conoces el periodo y el radio de la órbita, la velocidad con la que gira la sonda es:

$$$ \color{forestgreen}{\bf v = \dfrac{2\cdot \pi\cdot R}{T}}$$$

Las dos horas del periodo equivalen a 7 200 s, por lo que la velocidad será:

$$$ \text{v} = \dfrac{2\cdot \pi \cdot 8.0\cdot 10^6\ \text{m}}{7\ 200\ \text{s}} = \color{royalblue}{\bf 6.98\cdot 10^3\ m\cdot s^{-1}}$$$

Para que la sonda tenga una órbita estable es necesario que esté en equilibrio, es decir, que la fuerza de atracción gravitatoria sea igual a la fuerza centrípeta debida a su movimiento circular. Si igualas ambas fuerzas y despejas el valor de la masa del exoplaneta:

$$$ \require{cancel} \text{F}_\text{G} = \text{F}_\text{c}\ \to\ \text{G}\cdot \dfrac{\text{M}\cdot \cancel{\text{m}}}{\text{R}\cancel{^2}} = \cancel{\text{m}}\cdot \dfrac{\text{v}^2}{\cancel{\text{R}}}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf M = \dfrac{v^2\cdot R}{G}}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{M} = \dfrac{(6.98\cdot 10^3)^2\ \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{s}^{-2}\cdot 8.0\cdot 10^6\ \text{m}}{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{kg}^2} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 5.84\cdot 10^{24}\ kg}}$$$

El cálculo de la intensidad del campo, una vez conocida la masa del exoplaneta, es simple:

$$$ \require{cancel} \color{forestgreen}{\bf{g = \dfrac{G\cdot M}{R^2}}} = \dfrac{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot \cancel{\text{m}^2}\cdot \text{kg}^{-2}\cdot 5.84\cdot 10^{24}\ \text{kg}}{(8.0·10^6)^2\ \cancel{\text{m}^2}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.09\ m\cdot s^{-2}}}$$$

b) Cuando se activa el campo eléctrico sobre la sonda actúan dos fuerzas: la fuerza gravitatoria, que es central, y la fuerza eléctrica, que también apunta hacia el centro porque el campo eléctrico externo tiene esa dirección y sentido. Como ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido, la fuerza total será la suma de ambas. Si aplicas la segunda ley de Newton:

$$$ \text{F}_\text{G} + \text{F}_\text{E} = \text{m}\cdot \text{a}_\text{T}\ \to\ \text{m}\cdot \text{g} + \text{q}\cdot \text{E} = \text{m}\cdot \text{a}_\text{T}\ \to\ \color{forestgreen}{\bf a_T = g + \dfrac{q\cdot E}{m}}$$$

Solo tienes que sustituir en los datos y calcular:

$$$ \require{cancel} \text{a}_\text{T} = 6.09\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2} + \dfrac{2.0\cdot 10^{-3}\ \cancel{\text{C}}\cdot 300\ \text{N}\cdot \cancel{\text{C}^{-1}}}{500\ \text{kg}} = (6.09 + 1.2\cdot 10^{-3})\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.0912\ m\cdot s^{-2}}}$$$

Como puedes ver, la fuerza eléctrica es muy pequeña con respecto a la gravitatoria, lo que implica una aceleración muy pequeña de la sonda y eso permite movimientos de corrección de rumbo muy precisos.

c) Como la sonda se aleja del receptos, que está en la Tierra, la frecuencia que recibida es menor que la que emite la sonda. Si la onda electromagnética tiene una velocidad mucho menor que la velocidad de la luz puedes usar la ecuación del efecto Doppler:

$$$ \color{forestgreen}{\bf f^{\prime} = f\cdot \left(1 - \dfrac{v}{c}\right)}$$$

Sustituyes los datos y calculas:

$$$ \require{cancel} \text{f}^{\prime} = 10^8\ \text{Hz}\cdot \left(1 - \dfrac{6.98\cdot 10^3 \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}{3.0\cdot 10^8\ \cancel{\text{m}}\cdot \cancel{\text{s}^{-1}}}\right) = \color{firebrick}{\boxed{\bf 9.998\cdot 10^7\ Hz}}$$$

d) La energía de los fotones sigue la ecuación de Planck:

$$$ \color{forestgreen}{\bf E = h\cdot \nu}$$$

Conoces la frecuencia de la emisión por lo que el cálculo de la energía es inmediato:

$$$ \require{cancel} \text{E} = 6.63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot \cancel{\text{s}}\cdot 10^8\ \cancel{\text{s}^{-1}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 6.63\cdot 10^{26}\ J}}$$$

Necesitas hacer la conversión de unidades para expresar este valor en la otra unidad que indica el enunciado:

$$$ \require{cancel} 6.63\cdot 10^{26}\ \cancel{\text{J}}\cdot \dfrac{1\ \text{eV}}{1.6\cdot 10^{-19}\ \cancel{\text{J}}} = \color{firebrick}{\boxed{\bf 4.14\cdot 10^{-7}\ eV}}$$$

[P(3341)] EBAU Andalucía: física (junio 2014) - ejercicio A.1 (8580)

F_y_Q — 2025-12-14T10:29:32Z

Haz clic en este enlace para ver el enunciado y las respuestas del ejercicio que se resuelve en este vídeo.

- 15 - PAU: exámenes resueltos de años anteriores / PAU, Campo gravitatorio, Intensidad campo, EBAU, Selectividad, RESUELTO, Fuerza gravitatoria

[P(8497)] PAU Andalucía: física (junio 2025) - bloque A - cuestión a (8501)

F_y_Q — 2025-07-29T05:25:20Z

Para ver el enunciado del ejercicio que se resuelve en el vídeo, clica en este enlace.

- 15 - PAU: exámenes resueltos de años anteriores / PAU, Campo gravitatorio, Potencial gravitatorio, EBAU, Selectividad

PAU Andalucía: física (junio 2025) - bloque A - cuestión a (8497)

F_y_Q — 2025-07-28T04:13:31Z

Considera dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones:
i) El campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas.
ii) El potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

- Gravitación y Fuerzas Centrales (2.º Bach) / PAU, Campo gravitatorio, Potencial gravitatorio, EBAU, Selectividad, RESUELTO

[P(8288)] EBAU Andalucía: física (junio 2024) - ejercicio A.2 (8314)

F_y_Q — 2024-09-23T05:09:16Z

Si haces clic en este enlace podrás ver el enunciado y las respuestas a los apartados del problema resuelto en el vídeo.

- 15 - PAU: exámenes resueltos de años anteriores / Energía potencial, Velocidad escape, Campo gravitatorio, EBAU, Selectividad, EvAU

EBAU Andalucía: física (junio 2024) - ejercicio A.2 (8288)

F_y_Q — 2024-09-21T05:58:24Z

a) i) Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta. ii) La masa y el radio de la Tierra son 81 y 3.67 veces la masa y el radio de la Luna, respectivamente. ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape desde las superficies de la Tierra y la Luna? Razona tu respuesta.

b) Se desea poner alrededor de Júpiter un satélite artificial en órbita circular estacionaria (igual periodo que el planeta). Un día en Júpiter es 0.41 veces el día terrestre y la masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra. Determina: i) el radio orbital alrededor de Júpiter; ii) la relación que existe entre los radios orbitales de dos satélites que orbitan estacionariamente alrededor de la Tierra y de Júpiter.

; ;

a) i) ; ii)

b) i) ;

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

Altura de un cuerpo en un campo gravitatorio no uniforme (8084)

F_y_Q — 2023-10-28T06:11:37Z

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra. Demuestra que la altura máxima alcanzada por el cuerpo es:

donde es la altura que alcanzaría si el campo gravitatorio fuera constante.

Para poder hacer el problema vas a tener en cuenta la energía potencial gravitatoria del objeto en ambos sistemas, uniforme y no uniforme, e igualar los valores de las dos.

Para un campo uniforme:

Para un campo no uniforme:

Igualas y simplificas:

Debes escribir «h» en función del resto de valores. Lo puedes hacer en varios pasos:

Haces la inversa en cada miembro de la ecuación:

Operas para llegar a la expresión que te indican en el enunciado:

[P(8046)] EBAU Andalucía: física (junio 2023) - ejercicio A.2 (8050)

F_y_Q — 2023-09-12T04:29:55Z

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- 15 - PAU: exámenes resueltos de años anteriores / Energía potencial, Campo gravitatorio, Potencial gravitatorio, EBAU, Selectividad, EvAU